穿行于额外维度的有趣通道
在罗尔德·达尔(Roald Dahl)的《查理和巧克力工厂》(Charlie and the Chocolate Factory)中,威利·旺卡(Willy Wonka)给客人介绍了他的“旺卡梯”,用他的话来说:“电梯只能向上和向下,而旺卡梯却能够向前、向后、向左、向右、向旁,无论是横向、竖向、斜向、侧向,只要是你能想到的方向,它都可以到达……”确实,他的装置可以向任何方向移动,只要不超出我们所认知的三维空间。这可真是个富有创意的好主意。
然而,旺卡梯并不真正能够向任何“你能想到的”方向移动。威利·旺卡也真够粗心的,他忘记了额外维度通道,额外维度是完全不同的方向,它们难以描述,可是通过一个比方,就很好理解了。
1884年,为了阐释额外维度这一观念,英国数学家埃德温·阿伯特(Edwin A.Abbott)写了一本小说:《平地》(Flatland: A Romance of Many Dimensions)。故事发生在一个虚构的二维宇宙——也就是书名里的平地,那里的居民都是二维生物(有着不同的几何形状)。阿伯特要告诉我们的是,我们这个世界的人对四维概念充满了迷惑,正如平地的居民感觉三维概念无比神秘,因为他们一生都生存在一个二维空间,比如,在桌面上。
对我们来说,只要展开想象就能理解多于三维的世界,而对于平地的居民,三维是完全超乎想象的。那里的所有人都认为,宇宙显然只有他们所感知的两个维度,就像我们坚持三维观念一样,平地的居民对二维也是坚信不疑。
小说里的叙事者,正方形A(作者埃德温A的别名),被领进第三维的世界。在接受教育的第一阶段,他仍被限在平地上,这时,让他观察一个三维球体垂直地穿过他的两维世界。因为受限于平地,当球体穿过正方形A的平面时,他看到的是大小不等的一摞盘子,先是慢慢变大,然后渐渐缩小,其实就是球体的一个个切片(如图1-4所示)。
如果一个球体穿过一个平面,二维观察者看到的就是一个盘子,观察者在一段时间内所看到的一系列盘子就形成了这个球体。
开始,这令书中的二维叙事者颇感费解,他从未想到过会有超出二维的东西,也就不能想象会有像球体一样的三维物体。直到正方形A被抬离平地,进入一个三维环境,他才能真正想象一个球体。从这样一个新视角,他认识到球体就是他所看到的两维切片粘连在一起形成的。即使在二维世界里,正方形A也可以把他看到的盘子描绘成一个时间的函数,从而形成球体(如图1-4)。但是只有当他经历了第三维度的旅行之后,他才打开眼界,明白了球体和它的第三维。
通过这个类比,我们可以想象,如果一个超球体(有4个空间维度的球体)穿过我们的宇宙,它看起来就应该是一个三维球体随着时间的推移,先是慢慢增大,然后渐渐缩小。遗憾的是,我们无缘进入额外维度旅行,也就永远看不到一个完整的、静态的超球体,但我们还是可以推想物体在不同维度空间里的样子,即使我们看不见那些维度。我们可以满怀信心地推断,一个穿越三维的超球体看起来就应是一系列的三维球体。
再举一例,我们设想一下怎样构造超立方体——即立方体在三维以上的推广。一条一维直线连接两个点构成一个线段;在此线段上方再加一个一维线段,用另外两个线段将它们连接,就构成了一个二维正方形;以此方式继续,将另一个正方形置于这个上方,再在原正方形的每个边上以另外4个正方形连接,我们就能得到一个三维立方体(如图1-5所示)。
图中显示的是我们将低维度物体连接,形成高维度物体的方式。先连接两点形成线段,然后连接两条线段形成正方形,再连接两个正方形形成立方体,最后,连接两个立方体形成一个超级立方体(在此没有图片,因为很难画出)。
依此类推,在四维空间,我们可以得到一个超立方体;在五维空间也能得出某个东西,暂时还没有名称。即便我们三维凡人从未见识过这两种物体,我们也可以根据在低维空间使用的步骤作出推论:要形成一个超立方体(也叫超正方体),就是把一个立方体置于另一立方体上方,然后加进另外6个立方体,在原来两个立方体的每个面上进行连接。虽然这种构建很抽象,也很难画出,但这并不影响超立方体的真实性。
在读高中的时候,我参加过一个数学夏令营(你绝想象不出那是多么有趣)。在那里,我看了电影《平地》。电影结束的时候,叙事者徒劳地指向平地居民根本看不到的第三维度,用一种愉快的英国口音说道:“向上,不是向北。”遗憾的是,当我们试图指向第四维度,即一个通道时,我们面对的是同样的困惑。在阿伯特的小说中,即使第三维度存在,平地的居民仍然无法看到,也无法在其中穿行;同样的道理,我们看不到另外的维度,并不代表它们不存在。因此,尽管我们还没有看到,也没有在这样的维度中穿行,贯穿本书的潜台词仍然是:“不是向北,而是沿着通道向前。” 谁知道我们尚未看见的东西会是什么呢?
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