什么是维度
其实我们每天都在与高维空间打交道,只不过大多数人都不会以那种方式来考虑问题。
想想当你作一个重要决定(如买房子)时,会考虑多少因素?你可能要考虑房子有多大,附近有没有学校,离你感兴趣的地方有多远,建筑风格是什么样的,噪声有多大等等。
你得将所有的愿望和要求都列出来,然后在多维的情况下作出最佳决策。
维数就是完全确定空间一点所需要知道的量的数目。高维空间可以是抽象的,比如刚才用来描述你想要的房子特征的那个空间;也可以是具体的,比如我们即将探究的物理空间。
不过,买房子时,你也可以把维数看做你在数据库里记录的条目的数量,也就是值得你考虑的量的数目。
一个更为浅显的例子是将维度应用于人。如果你认定某人是一维的,那么在你脑海里有非常具体的理由:这个人只有一种兴趣。比方说:山姆成天坐在家里,除了看体育节目外什么都不干,那么描述他就只需要一条信息。如果愿意,你还可以将山姆爱看体育节目的嗜好用一维图上的一点画出来(如图1-1所示)。在画图时,要明确单位,这样,别人就可以明白沿着这条唯一轴线的距离代表什么意思。在图1-1中,山姆就表示为水平轴上的一点,这张图表现的是山姆每周看体育节目的小时数。
我们再深入地探讨这个概念:艾克,波士顿居民,是一个性格更为复杂的人。事实上,他是三维的:21岁,爱开快车,每月都要在旺德兰(波士顿附近一个有赛犬场的小镇)输钱。如图1-2画出了艾克,尽管图是画在一张二维纸上的,但三条轴却说明艾克绝对是三维的。[2]
V型实线是三维定位图的坐标轴,标志为艾克的点对应的是一个21岁、每月在旺德兰输掉24美元、(平均)每周开快车3.3次的男孩。
可是,当我们描绘大多数人时,我们通常赋予他们不止1个甚至3个特点。阿西娜,艾克的妹妹,是一个酷爱读书的11岁女孩,擅长数学,了解时事,还养猫头鹰做宠物。也许你想给这些也来个定位(尽管我不太确信是出于什么原因),那样的话,阿西娜就应是一个在五维空间里的点,对应的轴有年龄、每周所看书的数量、数学平均成绩、每天读报的分钟数以及所养猫头鹰的数量。但是,要我画出这样一幅图,却是很困难的,因为这需要一个五维空间。即便是电脑程序,也只有3D图像。
不管怎么说,在抽象意义上,存在着一个五维空间,它有一个5个数的集合,如(11,3,100,45,4),它表示的是:阿西娜11岁,平均每周看3本书,数学成绩满分,每天读报45分钟,现在养着4只猫头鹰。用这5个数字,我就把阿西娜描述了出来。如果你认识她,那么,由这个五维空间里的点,你就能认出她。
以上3个人,每个人对应的维数,就是我辨认他们所需的特征的数量:山姆,1个;艾克,3个;阿西娜,5个。当然,作为一个真实的人,仅凭这么几条信息,远不足以捕捉其真实画面。
在后面的章节,我们用维来探索空间而不是人。这里的“空间”指的是,物质存在以及物理过程发生的区域。一个有特定维数的空间指的是需要特定数目的量来确定一个点的空间。
在一维中,一个点的定位图只有一条x轴;在二维中,这个点的定位图有x轴和y轴;在三维中,这个点的定位图有x、y、z 三个轴(如图1-3所示)。
在三维空间中,你只需要3个数字就可以知道自己的确切位置。你确定的数字可以是经度、纬度和海拔,也可以是长度、宽度和高度,或者你还有别的方法来选择你的3个数字。
这都无关紧要,问题的关键在于,三维意味着你需要不多不少3个数字;
二维,你需要两个数字;而多维,你就需要更多个数字。
更多维度意味着,你可以在更多完全不同的方向上自由移动。一个在四维空间里的点,只需再加一条轴——但还是难以描画。可想象它的存在,应该并不难,我们可以用语言和数学名词来想象它。
弦理论提出还有更多的维度:它推想有6个或7个额外维度,也就是说,我们需要有6个或7个额外坐标来定位一个点。弦理论的最新成果显示,可能还远不止这些维度。本书中,我会敞开思想,无论有多少额外维度,都会欣然接受。现在,要说出宇宙究竟包含多少维度,未免为时过早。我要描述的有关额外维度的许多概念都适用任意数量的额外维度,只在很少几个场合,有例外情况,届时,我保证解释清楚。
可是,要描绘一个物理空间,不仅仅要确定一些点,你还需要明确一个度规(metric),它确立测量的标度,即两点间的物理距离,它们是轴线上的刻度。仅仅知道几个点之间的距离是17还不够,我们还要知道17代表的是17厘米?17英里?还是17光年?我们用度规来决定怎样测量距离,图上两点之间的距离对应该图所代表的世界里的什么量?度规给出了一个测度规杆,说明了你选择什么测量单位来确定标度,就如在一张地图上,半英寸可能代表1英里,或者如米制单位中,它给出了大家认同的1米的标杆。
但度规还不仅仅确定这些,它还会告诉我们空间是否弯曲或是卷起,就如同一个吹胀的气球表面。度规包含了有关空间形状的所有信息,弯曲空间的度规既说明长度,也说明角度。正如1英寸可以代表不同的长度,角度也可以对应不同的形状。后面,当我们探索弯曲空间与引力的关系时,我还会讲到这些。现在我们只说一点,即球体的表面与一张纸的平直表面是不同的,球面上的三角与纸面上的三角也不同,这种二维空间的差异可以从它们的度规看出来。
随着物理学的进步,度规里存储的信息量也在不断发展演变。爱因斯坦创立相对论时,认识到第四维——时间,是与空间的其他三维密不可分的。时间也需要一个标度,于是爱因斯坦用四维时空(在3个空间维之上加入时间维)的度规构造了引力。
更新的研究成果显示还有可能存在另外的空间维度,那样的话,真正的时空度规将包含3个以上的空间维。人们怎样描绘一个多维空间?那就是说出它有多少维度,以及那些维度的度规是什么。但是,在我们进一步探索度规和多维空间的度规之前,我们再多想想“多维空间”这个术语的含义。
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