异类心理学：40个改变认知的疯狂思想实验

数字也会撒谎？！

设问

请证明数学理论是“不完全”的。

■ 数字真的不会撒谎吗？

这里我们将要介绍哥德尔⁽¹⁾的“不完全性定理”，它是数学基础⁽²⁾中的一个定理，证明了数学理论等都是“不完全”的，而且不可能做到“完全”。

在这个定理被提出之前，人们都坚信数学理论是毫无矛盾的、完全的。被称为现代数学之父的德国数学家希尔伯特⁽³⁾就曾宣布：数学是“完全”的，并且得到了其他数学家的一致拥护。这也被称为“希尔伯特方案⁽⁴⁾” 。

人们常说“数字是不会撒谎的”。确实，我们经常被数字或公式说服，而不得不同意其中体现出的含义。

然而，哥德尔却对此提出了异议。那么，哥德尔究竟是如何证明数学理论是“不完全”的呢？这就要从“哥德尔不完全性定理”的内容说起。

这一定理可分为两部分。

首先是“第一不完全性定理”。其内容是某个毫无矛盾的理论体系中，必然存在无法被证明肯定或否定的命题。

其次是“第二不完全性定理”。其内容是某个理论体系即便是毫无矛盾的，但也无法运用该理论体系来自证没有矛盾。

如果用数学公式解释，就太过复杂了，所以我们用文字进行说明吧。

例如，有这样一句话：“无法用数学证明这句话是真命题。”如果这句话的内容为真，那么，在数学领域就存在着无法被证明的真理。这样一来，数学也就谈不上“完全”了。

是不是感觉稍微有些复杂难懂了呢？我尽量采用更简单的表述吧。

假如，事物中存在着无法被肯定也无法被否定的“真伪不明”的内容，那么任何事物都不能仅靠自身的内部逻辑自证是毫无矛盾的。因此才可以说是“不完全”的。

也有人批判“哥德尔的不完全性定理”被滥用到其他领域中，但是“对这种想法的运用”本身是自由的。总之，不仅限于数学，在数学之外的其他领域中，应该也是同样的道理吧。任何事情都不可能是“完全”的——这么说来，我们又该如何看待哥德尔提出的这个“不完全性定理”呢？这个定理本身应该也不是“完全”的吧……

让头脑聪明的要点

公认“完全”的事物，如果能被证明是“不完全”的，将会颠覆我们的常识。

1. 哥德尔（1906—1978），原籍奥地利的美国数学家、逻辑学家。
2. 数学基础：数学中的一个分支。研究数学的对象、性质和方法的学科。
3. 希尔伯特（1862—1943），德国数学家。
4. 希尔伯特方案：由希尔伯特提出，是对数字进行形式化的一种尝试。