不过,来到这里一个月后,有一次我
和冯·诺依曼谈论各种归纳过程和进化过
程时,他顺带提了一句:“当然,这就
是图灵所讲的。”我问:“谁是图
灵?”他回答:“你去查查1937年的《伦敦数学学会期刊》。”存在模仿所有其
他机器的通用机这一事实……只有冯·诺
依曼和其他少数人了解。而当他了解之
后,他就知道我们可以做些什么了。
1937年,无论是图灵还是冯·诺依曼都在研究纯数学,不过图灵发现与法恩楼数学系仅一条过道之隔的帕尔默物理实验室对他的诱惑无法抵挡。马尔科姆·麦克费尔(Malcolm MacPhail)说:“图灵居然设计了一个电动乘法器,并建立了最初的三、四级,看是否能让它运作起来。”他曾将一把机械加工车间的钥匙借给图灵。“当时,他需要继电器式开关,而市面上没有销售,他就自己制造……他把继电器缠绕起来并进行加工。让我们惊喜的是,计算器能正常工作了。”
图灵先借助他的通用机将数理逻辑的边界尽可能地拓宽,然后开始思考如何摆脱封闭形式系统和纯确定性机器限制的方法。他的博士论文完成于1938年5月,1939年以《基于序数的逻辑系统》(Systems of Logic Based on Ordinals)为题发表。这篇论文试图通过一系列的形式系统超越哥德尔的不完备性,逐渐实现更完整的逻辑系统。
图灵解释说:“哥德尔证明每个逻辑系统在一定意义上都是不完整的,但同时……表明,借助一定的手段,由逻辑系统L可能得出更为完整的逻辑系统L’。”为什么没有包含L’呢?既然L’包含在内,那么L”呢?然后,图灵通过参考一个所谓的“谕示”(oracle),提出了一类新机器,这类机器逐步开展确定性运作,但是偶尔会出现非确定性运作。
“我们不应该再进一步探究这个谕示的本质,且不用说它不可能是一台机器,”图灵解释说(或者并未解释),“在这个‘谕示’的帮助下,我们可以形成一种新的机器(称为O型机)。”图灵指出,在没有外部‘谕示’的支撑下,仍然可以构建不可判定语句,判定性问题也依然得不到解决。1936年的通用图灵机获得了所有人的关注,不过1939年图灵的O型机可能更接近智能的工作方式(真实和虚拟):逻辑顺序遵循一定的步数,而直觉则弥合了其间的差距。
“数学推理可能会被计划性地看作两种能力组合的行为,这两种能力我们可以称为直觉和创造力,”图灵解释说,“直觉在于自发做出判断,这些判断并非有意识的推理序列的结果。这些判断经常出现,但并不是永远正确(姑且不论何谓‘正确’的问题)。”图灵认为创造力对直觉起到辅助的作用,而非取代。“在前哥德尔时代,有人认为将这种程序改变到一定程度大概是有可能的,即所有直观的数学判断都能被有限的这种规则替代,”他总结道,“那么,直觉的必要性就完全不存在了。”假设直觉能被创造力所替代,并且反过来,创造力又能被穷举搜索替代,那么又会怎样呢?“我们始终都能从形式逻辑的规则中获得一种列举命题的方法,这些命题都是通过一定手段证明过的。那么我们可以想象,所有证明都需要列举所需要的定理,从而表现为搜索的形式。这样,创造力就被耐心所取代。”然而,耐心再多也不足以成事。创造力和直觉并未就此消失。
耐心、创造力和直觉之间的关系让图灵开始思考密码学。在密码学中,如果一条电报在传播过程中被拦截,编码该电报所使用的少许创造力就能抗衡破解时耗费的大量创造力。根据指令,图灵机可以将有意义的语句隐藏在看似无意义的噪声中。除非你知道密钥,否则很难将这些有意义的语句提取出来。图灵机也可以根据指示来搜寻有意义的语句,但是因为无意义的语句总是不计其数,比有意义的语句多得多,所以保密比较容易实现。“我刚发现一种可能的应用,也就是我现在研究的这件事,”1936年10月,图灵给母亲写信说,“它解答了‘可能存在的、最一般形式的代码和密码是什么’的问题,同时能够让人们相当自然地建立大量的特定代码,这些代码非常有趣。其中就有一种代码:编码非常快捷,解码则需要密钥,否则将极其困难。我希望我可以把这些代码卖给英国政府,从而获得一笔可观的报酬,但是我相当怀疑做这件事情是否有悖道德。您怎么看呢?”
随着博士论文的完成,图灵开始为他返回英国做准备。冯·诺依曼向他提供了在研究院担任自己助手的职位,年薪为1500美元,但是战争的乌云正在聚拢,图灵准备回家。“7月中旬我就能见到你,”他写信给他的朋友、在国王学院研究数学的同事菲利普·霍尔(Philip Hall),“我也希望看到2.5米宽的战壕纵横交错地密布在后草坪上的情景。”1938年7月19日,他回到南安普敦。
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