哥德尔,不完备性定理之父
“形式逻辑必须由数学家接管,”1924年新年前夜,维布伦这样宣布道,当时高等研究院的未来图景首度在他头脑中成形,“目前还不存在一套充分的逻辑,除非数学家们创建一套,否则没有人能做到。”正是哥德尔证明维布伦的直觉是正确的,他直接超越了冯·诺依曼,也超越了其他任何人。
1924年,冯·诺依曼和哥德尔都在研究数学的逻辑基础,最终哥德尔提出了不完备性定理,推翻了希尔伯特的程序。据斯坦·乌拉姆称,冯·诺依曼“相信希尔伯特的数学公理化是最终且不可推翻的目标,然而,在1925年的一篇论文中,凭着一种神秘的直觉,他指出集合论的任何公理化表达都存在限制。这也许是对哥德尔的结果做出的某种模糊的预测”。怀疑的种子已经种下。
1930年9月,在柯尼斯堡(Königsberg)举行的精确科学的认识论会议上,哥德尔首度试探性地公布了他的不完备性结果。冯·诺依曼立即看到了其中的意义。1930年11月30日,他给哥德尔写信说:“使用你的方法非常成功……
我得到的结果似乎非比寻常,能够说明数学的相容性是不可证明的。”然而,他最终从回信中发现,哥德尔已经捷足先登。“他为自己没有首先发现哥德尔的不可判定性定理感到失望,”乌拉姆解释说,“如果他承认希尔伯特的程序可能存在错误,他就完全有这个能力。但是,这将意味着违背当时的主流思想。”
冯·诺依曼仍然是哥德尔的积极支持者,他认为后者的结论适用于“所有允许形式化的系统”。后来,他再也未涉足数学的基础研究工作。“哥德尔在现代逻辑领域的成就是非凡的、巨大的……具有里程碑意义,足以跨越时空,”他写道,“在其准悖论的‘自我否定’中,结果是显著的:使用数学方法论证数学不包含矛盾,这是永远也不可能做到的……逻辑的主题将不再相同。”
哥德尔为数字革命打好了基础,不仅重新定义了形式系统的能力(艾伦·图灵厘清了它们的物理实施方案),而且引导冯·诺依曼将兴趣由纯粹逻辑转向了应用方面。正是在尝试将哥德尔的结果扩展到希尔伯特的判定性问题时,图灵发明了他的通用机。判定性问题是指:在有限的时间内,能否通过严格的机械程序将可证明语句与不可证明语句区分开来的“决定性问题”。哥德尔定理为形式系统指定的所有能力及其限制,也适用于图灵的通用机,以及位于哥德尔办公室正下方的、冯·诺依曼当时正试图建立的版本。
哥德尔为特定形式系统语言中的所有表达式指定了唯一的识别号码或数字地址,迫使它们与无法逃避的数字科层制(numerical bureaucracy)相对应。哥德尔编号建立在素数表的基础上,由明确的编码机制管理复合表达式及哥德尔数之间的翻译,它与合成蛋白质所需要的核苷酸和氨基酸之间的翻译相似,但是却更为清楚。1931年,由数字码表示所有可能的概念,似乎只是一个纯粹的理论建构。
哥德尔介绍他的证明思想时写道:“据此,元数学(metamathematical)的概念(命题)也就变成了关于自然数或它们的序列的基本概念(命题),从而就可以(至少是部分地)在(对象)系统本身的符号中得到表示……”哥德尔构建了一个公式,实际上就是哥德尔语句(简称G):“包含哥德尔数g的语句不可证”,其中对该系统的细节进行巧妙地处理,使得G的哥德尔数为g。G不能在指定的系统中被证明,因此它为真。假定存在相容性,它的否定就不可证,所以哥德尔语句形式上是不可判定的,从而系统是不完备的。最终,哥德尔终结了希尔伯特普遍适用的、无所不包的形式体系化的梦想。
1933年秋天,哥德尔抵达研究院,但是他患上了抑郁症,于1934年5月回到了维也纳。退隐到普克斯多夫镇(Purkersdorf)的疗养院之后,他在那里被诊断为神经衰弱。1935年9月,他又回到了普林斯顿,但是患上了更为严重的抑郁症,于是他辞去职务,于11月底回到奥地利。他自愿去里卡温克尔(Rekawinkel)的疗养院,在一定程度的恢复后,能够与他未来的妻子阿黛尔·尼姆布尔斯基(Adele Nimbursky,她的娘家姓为波克特[Porkert])正常生活几个星期。安迪在阿弗伦兹(Aflenz)的夜总会工作,是一名华尔兹歌舞表演者。
维布伦、马斯顿·莫尔斯和冯·诺依曼前往维也纳拜访了哥德尔,并决定将他带回研究院。不过,艾德洛特主张让他继续休养,后来又私下对哥德尔的心理医生说:“我始终有点担心,他还没休养好。”1950年,哥德尔终于获得了一个教师任职,“这是从哥德尔不适合当教授的角度考虑的”。尽管如此,艾德洛特当时仍然支持哥德尔回到美国。
9月,哥德尔和阿黛尔结婚。1938年年底,哥德尔回到了普林斯顿,但是在圣母大学(University of Notre Dame)待了一个学期之后,他于1939年6月再次回到了维也纳,时值战争爆发。此时,哥德尔发现自己陷入了和自己最近的数学成果特征相同的准悖论的自我矛盾当中。他出生在前捷克斯洛伐克的布恩(Brünn),于1928年成为奥地利公民。1938年,奥地利被希特勒政府吞并后,他失去了维也纳的教职,虽然他不是犹太人,但是却被指控“已经走进了自由派犹太圈”;他为新秩序(New Order)讲师提交的申请也遭到拒绝。奥地利沦陷后,他被迫申请德国护照,后来甚至被迫申请美国的临时签证。然而,德国护照的发放却让他陷入了为德国服兵役的困境。如果不履行服兵役的义务,任何出境签证的申请都会被拒绝。
没有美国的签证,德国当局就不会允许例外。没有德国人的例外,美国人就不能授予签证。“当然,我想你明白,如果哥德尔教授的困难源自与军事或一个外国政府管辖范围内的其他事项相关的一些问题,我方驻维也纳的领事官员也无法代表他进行干预,因为哥德尔教授不是美国公民。”1939年10月,美国签证处的长官给亚伯拉罕·弗莱克斯纳写信说。
冯·诺依曼借助弗莱克斯纳在洛克菲勒基金会的人脉,向能接触到的最高级别的外交人士传播了一封信,他呼吁“哥德尔绝对是不可替代的;他是活着的、唯一称得上这番评价的数学家。将他从欧洲的悲剧中拯救出来,这将是一项伟大的贡献”。签证处反驳说,要通过非配额签证加入美国,申请人必须既拥有当前居住国的教职,还要拥有美国的一个教职。弗莱克斯纳、艾德洛特和冯·诺依曼证实,哥德尔将会“走上教师岗位”(尽管研究院既没有学生,也不开设课程),但是这还不够。“反对哥德尔的理由是,”冯·诺依曼向弗莱克斯纳解释说,“在原籍国担任教职的两年必须是提出申请之前的两年;然而,1938年德奥合并之后,纳粹就终止了哥德尔的职务。这个要求我认为是完全不合逻辑的。”
虽然逻辑不通,但是外交却取得了成功。驻守维也纳的德国政府批准哥德尔一家离开,华盛顿的美国当局也批准他们入境。1940年1月2日,哥德尔给冯·诺依曼发电报告诉他事情的进展。哥德尔向艾德洛特报告说:“目前唯一的麻烦是,我将不得不选择途径俄罗斯和日本的路线。”1月8日,哥德尔一家得到了美国颁发的签证。1月15日,他们离开柏林前往莫斯科,经西伯利亚大铁路(Trans-Siberian Railway)到达符拉迪沃斯托克(Vladivostok),然后转水路到横滨。2月2日,当他们到达那里时,正好错过了他们前往旧金山打算乘坐的“塔夫脱号”(Taft),它在2月1日就已经起航了。艾德洛特为他们救急,他通过电报向住在横滨新格兰德酒店(New Grand)的哥德尔一家寄去了200 美元,并为他们定下了“克利夫兰总统号”(Cleveland)到檀香山的船票,经由檀香山(在这里哥德尔又索要了300美元)转到旧金山,他们于3月4日到达。3月9日,他们乘坐火车终于抵达了普林斯顿。
他们离开的正是时候。6月,巴黎被占领,意大利向英国和法国宣战。“我最坏的预感变成了现实,”6月18日,斯坦·乌拉姆给冯·诺依曼写信说,“我对美国的信心几乎完全耗尽了。”美国直到1941年12月8日才宣战,但是在此之前,高等研究院的许多成员要么因为战争流离失所,要么投入了备战工作。冯·诺依曼早已沉浸在武器的研究当中;那时也出现了“铀问题”的传言;维布伦和莫尔斯均准备回到陆军试验场的职位上。
在冯·诺依曼一直寻找轰炸目标的同时,高等研究院的人文主义者被美国保护和拯救战区艺术历史遗址委员会( American Commission for the Protection and Salvage of Artistic and Historic Monuments in War Areas)征召,帮助筛选轰炸目标。艺术史学家欧文·帕诺夫斯基(Erwin Panofsky)负责识别德国的重要文化资源,而高等研究院的古典学者和考古学家则协助提供地中海地区和中东地区的类似情报,甚至连爱因斯坦也做了汇报。
随着战争的持续,高等研究院迎难而上,尝试“通过壁炉为公共休息室供暖”以节省燃料,并借助其他方式让大家保持良好的精神状态。物资和材料逐渐变少,采购也被推迟,然而高等研究院的社区却在继续扩大。“请你告诉我们,有没有法律反对乘客使用拖车呢?”伯尼塔·米勒给车管局写信表示,原因是来往于高等研究院和火车站之间的拖车乘客载荷不足。
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