17岁的专家级数学家
1914年,冯·诺依曼10岁,进入卢瑟伦中学(Lutheran Gymnasium)学习。那是布达佩斯的3所精英高中之一,提供长达8年的竞争性课程,并且有一小群严肃的数学家,这些数学家将教学与原创性研究结合在一起。冯·诺依曼引起了传奇数学老师拉斯洛·拉茨(László Rátz)的关注。根据同班同学和后来的经济学家威廉·费尔纳(William Fellner)的说法,这位老师“对冯·诺依曼的父亲表示,按照传统方式教授他中学数学将毫无意义”。拉茨在发现学生的数学天资并且鼓励这种天资的发展方面很有天赋。“你怎么能知道,这个早熟的10岁男孩有一天会成为一位伟大的数学家呢?”尤金·维格纳问道,“你确实不能。然而,不知何故,拉茨的确预测到了,而且非常迅速。”
在布达佩斯大学约瑟夫·库尔察克(Joseph Kürschák)、加布里埃尔·塞戈(Gabriel Szegö)、迈克尔·费克特(Michael Fekete)和利奥波德·费耶尔(Leopold Fejér)的私人辅导以及拉茨的教导下,约翰在13岁时就开始了严格的数学训练。他的第一篇论文写于17岁,合著者为费克特。到1921年他高中毕业的时候,他已经被公认为专家级数学家了。然而,他的父亲怀疑仅靠数学难以提供一条可行的职业发展道路。
据冯·诺依曼说,西奥多·冯·卡门(Theodore von Kármán)是匈牙利空气动力学家,他在帕萨迪纳( Pasadena)建立了喷气推进实验室(Jet Propulsion Laboratory),并建成了第一个超音速风洞,他还担任美国空军科学顾问委员会(Scientific Advisory Board)的首任主席和发明顾问。冯·卡门记得:“布达佩斯一位著名的银行家带他17岁的儿子来见我……他有一个不寻常的请求。他希望我劝阻年轻的约翰尼不要去当数学家。他说,‘数学,不赚钱’。”
“我和那个男孩交谈,”冯·卡门继续说,“他可谓惊才绝艳。17岁,他就已经自行研究无穷大的不同概念,这是抽象数学领域最深的问题之一……如果叫他抛弃自己的天赋,我会为此愧疚。”作为妥协,冯·诺依曼进入苏黎世联邦理工大学(Eidgenössische Technische Hochschule)学习化学工程专业,“为他选择合理的职业做准备”,同时被柏林大学和布达佩斯大学招收为数学系学生。在接下来的4年里,他将时间花在了苏黎世和柏林,上化学课的同时独立研究数学,并在每学期末返回布达佩斯参加考试。他虽然并未上课却还是通过了考试。1925年,他获得了苏黎世联邦理工大学化学工程学位,随后他在布达佩斯获得数学博士学位。
他的论文《集合论的公理化》(The Axiomatization of Set Theory),是他在大学一年级就开始研究的成果。
1922-1923年,亚伯拉罕·弗兰克尔(Abraham Fraenkel)曾担任《数学月刊》(Journal für Mathematik)的主编,他记得收到“一份不知名作者(约翰·冯·诺依曼)的长手稿,其标题是《集合论的公理化》。我觉得自己未能完全读懂,但足以看出这是一份出色的作品,一定出自高人之手”。该论文以Eine Axiomatisierung der Mengenlehre为题发表于1925年,其英文题目是An Axiomatization of Set Theory,到1928 年,英文题目中的“An”改回原来的“The”。
公理化是指:将一个主题的原始假设尽可能减到最少,即足以充分发展该主题,而在过程中无须引入新的假设。集合论的公理化从数学上形成了其他一切的基础。在此之前,伯特兰·罗素(Bertrand Russell)和阿尔弗雷德·诺斯(Alfred North)曾做过一次雄心勃勃的尝试。尽管他们的著作分成了3卷,长达1984页,但是根本问题仍然没有得到解决。冯·诺依曼从头开始做起。“公理系统的简洁性令人惊讶,”斯坦·乌拉姆评论道,“这些公理只用了一页多一点。实际上,这足以建立几乎所有的朴素集合论和与之相关的所有现代数学……而且所运用的推理的形式特征似乎实现了希尔伯特(Hilbert)把数学当作有限游戏的目标。”
20世纪初期,哥廷根大学的大卫·希尔伯特(David Hilbert)掌控着数学图景,他认为从一组严格限制的公理出发,通过一系列定义完善的逻辑步骤就能证明所有数学真理。希尔伯特的挑战直接导致了库尔特·哥德尔(Kurt Gödel)于1931年得出了不完备性定理,以及艾伦·图灵于1936年得出了不可计算函数和通用计算存在的结论。冯·诺依曼承担起了这个挑战,他为这两项革新打好了基础,但却未能执行决定性的步骤。
哥德尔证明了在任何能包括普通算术的形式系统中,始终存在不可判定语句——既无法被证明为正确也不能被证明为错误的语句。图灵证明了在任何形式(或机械)系统中,不仅存在这样的函数:即可以给出一个有限的描述,但无法在有限的时间内使用任何有限的机器进行计算;而且不存在明确的方法提前区分不可计算函数和可计算函数。这是一个坏消息。好消息是,正如莱布尼茨所说:“我们似乎生活在世界最好的一面,这里的可计算函数让我们足以预见该如何维持生活,而不可计算函数使生活和数学真理不可预知,留有趣味。不管计算机发展到何种程度,这些都不会改变。”
“在他的《集合论的公理化》一文中,人们可以发现冯·诺依曼对计算机兴趣的萌芽,”1958年,乌拉姆事后回顾时说,“计算机的经济化似乎表明了,相比本身的精湛技巧,更为根本的条件是简洁。因此,它实际上为借助‘机器’的概念深入研究有限形式体系的限制做好了准备。”
至此,冯·诺依曼已自成一格。他会选取一个主题,确认与之对应的公理,然后运用这些公理延伸这个主题的前沿,最后一显身手。“是什么让他能够在数学的众多方面做出如此多的贡献呢?”保罗·哈尔莫斯问道,“是他在归纳和分析方面的才华。他对大的问题理解深刻,如算子环(rings of operators)、测度(measures )、连续几何(continuous geometry)和直接积分(direct integrals)。
他能将大问题分解为极小的细节,他还可以把极小的细节组合成具有任意指定属性的大问题。这就是约翰尼的能耐,再无其他人可以做到。”
1926年,在获得博士学位之后,他只参加了一场面试。据大卫·希尔伯特说,他只被问到一个问题:“这么多年以来,我从来没有见过这么漂亮的晚礼服,请告诉我这位候选人的裁缝是谁?”很快,冯·诺依曼就接受了洛克菲勒研究员的职位,与希尔伯特一同在哥廷根工作。这是一份来自美国的工作,欧洲当时的职位比较稀有。在接下来的3年里,他发表了25篇论文,包括1928年关于博弈论的论文,利用极小极大定理(minimax theorem)证明凸集(convex set)之间的鞍点(saddle point)存在优秀策略,这一结论适用于一类广泛的比赛,以及著作《量子力学的数学基础》(Mathematical Foundations of Quantum Mechanics),后者被克拉拉描述为他“畅游科学世界的永久护照”,并且历经80年后仍然在出版。1927年,他被柏林大学聘为讲师(或副教授),1929年转去汉堡大学(University of Hamburg)。
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