弯曲的空间和弯曲的时空
数学理论必须是内部连贯一致的,但不同于科学理论的是,它不必对外部物质现实作出回应。当然,数学家们的灵感常常来自对周围世界的观察,立方体、自然数等数学对象也确实能在现实世界里找到对应。但是,数学家们会将这些关于熟悉概念的假设推广为物理现实不那么确定的对象,如超正方体(在四维空间的超级立方体)和四元数(一个新奇的数字体系)等。
公元前3世纪,欧几里得写下了他有关几何学的五个基本公理,由这些公理产生了一个优美的逻辑结构,这在中学时代你可能有过简单的涉猎。但后来数学家们发现第五公理(即著名的平行线公理)很麻烦。这一公理说的是,过线外一点,有且只有一条直线与原直线平行。
欧几里得提出他的公理后两千年来,数学家们一直争论不休,这第五公理究竟是独立于其他四条而存在,还是只是另外四条的逻辑延伸?会不会有一种几何体系除了最后一条其他都成立?如果不存在这样的几何体系,那么第五公理就不是独立的,因此也就是无关紧要的。
直到19世纪,数学家们才给第五公理找到了恰当的位置。伟大的德国数学家卡尔·弗雷德里克·高斯(Carl Friedrich Gauss)发现,第五公理正如欧几里得自己断言的那样,可以被另一公理取代。他继续研究并取代了它,由此发现了另外的几何体系,并证明第五公理是独立的。在此基础之上,诞生了非欧几何。
俄国数学家尼古拉·伊万诺维奇·罗巴切夫斯基(Nikolai Ivanovich Lobachevsky)也发展了非欧几何。可是,当他将自己的研究寄给高斯时却失望地发现,这位老数学家早在50年前就想到了同样的观点,只不过这位德国人因为怕被同事嘲笑,一直隐藏着自己的研究,所以,无论是罗巴切夫斯基还是任何别的人都不曾知道高斯的结果。
高斯原不必这么担忧的,很显然,欧几里得的第五公理并非总能成立,因为我们都知道还会有另外的可能,例如,虽然经线在赤道是平行的,但它们在南、北极点会相交。球体上的几何就是非欧几何的一个例子。如果古人是在球体上写字,而不是在羊皮纸卷上,那么,这点对他们也会是显而易见的。
但是,非欧几何还有许多例子,与球体不同,它们是不能在三维世界里直观地实现的。
高斯、罗巴切夫斯基和匈牙利数学家雅诺什·鲍耶(János Bolyai)[4]等人最初的非欧几何,研究的正是这样一些根本不可描画的几何理论,也难怪他们花了这许久才发现它们。
有几个例子可以说明是什么使得曲面几何与这页上面的平面几何有所不同:图5-4显示了三个两维平面。第一个是球体表面,有稳定的正弯曲;第二个是平面的一部分,零弯曲;第三个是双曲抛物面,有稳定的负弯曲,马鞍的形状、两座山峰之间的地形和一片品客薯片的形状都是负弯曲表面的例子。
有多种测试方法可以让我们知道,某个特定的几何空间属于这三种可能形状的哪一种,例如,你可以在这三种形状的每个表面上画一个三角形:在平坦表面上,三角形的内角之和总是180度;而如果三角形的顶点在北极,另外两点在赤道上,间距四分之一赤道长度,这样一个在球体表面的三角形会是什么样?这个三角形的每个角都是90度直角,因此,它的内角之和是270度。这在一个平坦表面上是永远也不会发生的,但在一个正弯曲的表面上,因为表面突出,三角形的内角之和必然大于180度。
同样道理,画在双曲抛物面上的三角形内角之和必然小于180度,这是其负弯曲的反映。这不太容易见到:在靠近马鞍两边顶部的位置各画一点,另一点向下,沿着双曲抛物面延伸至底部,如果你骑在马上,就是你一只脚踩的地方。最后这一角比起它在平面上要小,因此三个角加起来小于180度。
一旦内在一致地确立了非欧几何,即它的假设不会有任何矛盾和悖论,德国数学家乔治·伯恩哈德·黎曼(Georg Bernhard Riemann)便发展了一个丰富的体系来描述它们。一张纸不能被卷成一个球体,但它可以卷成一个圆筒;如果不碎裂,不向后折叠,你无法将马鞍摊平。在高斯研究的基础上,黎曼创建了又一数学形式,将这些事实囊括在内。1854年,他发现了一个一般性的解决方法:可以通过它们的内禀性质来刻画所有几何。他的研究奠定了现代数学领域微分几何的基础,这一数学分支专门研究曲面和几何。
因为从现在起,我将几乎总是把空间和时间放在一起考虑,所以我们会发现时空的概念比空间更为有用。时空要比空间多一维:除了“上下”、“左右”和“前后”之外,它还包括时间。1908年,数学家赫尔曼·闵可夫斯基(Hermann Minkowski)使用几何概念发展了这一绝对时空结构的观念。爱因斯坦研究时空所用的时间和空间坐标要依赖于一个参照系,而闵可夫斯基则明确指出一个独立于观察者的时空结构,任何一个给定物质情形都可以由它表现出来。
在本书其余部分,除非特别说明,我说维度时都指时空维数。例如,我们看周围时,看到的就是我以后所指的维宇宙。偶尔我会把时间单列出来,说“三维加一维”的宇宙,或三维空间。但请记住,所有这些术语指的都是同一场景——即有3个空间维度和1个时间维度。
时空结构是一个很重要的概念,它简明地表现了一个时空几何的特征,这一时空几何与由特定能量和物质分布所产生的引力场密切呼应。但起初,爱因斯坦并不喜欢这一观念,要对自己已经解释过的物理再作重新阐述,在他看来,这未免太过分了。但他最终还是认识到,这一时空结构对于完整、概括地描述引力和计算引力场是非常重要的。从记录来看,闵可夫斯基在最初认识爱因斯坦时也没有什么好印象:根据以往爱因斯坦学生时代在他微积分课上的表现,闵可夫斯基给爱因斯坦的评价是一条“懒狗”。
拒绝非欧几何的也不仅仅是爱因斯坦一个,他的朋友、瑞士数学家马塞尔·格罗斯曼(Marcel Grossmann)也觉得它太复杂了,劝爱因斯坦不要用它。但他们最终一致认为,解释引力唯一可行的方法就是用非欧几何来表现时空结构,直到此时,爱因斯坦才得以诠释和计算弯曲的时空,它与引力相等,而这也成为完成广义相对论的关键。在格罗斯曼承认失误之后,他们两人携手,共同致力于研究错综复杂的微分几何,以简化他们高度复杂的早期尝试,来形成一个引力理论的明确诠释。终于,他们完成了广义相对论并对引力本身有了一个更为深入的理解。
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