牛顿定律与紧致维度
现在我们知道了引力在三维里遵守平方反比定律,但要注意的是,这个论点似乎非常依赖一个既定事实:我们的空间有三个维度。假设只有两个维度,引力就会只以一个圆圈向外发散,那样,引力随距离减弱的速度就会慢得多。假设有不止3个维度,比如一个超球体,那么随着行星与其卫星之间距离的增大,其表面积增大的速度会更快,而引力也会因此迅速减弱。似乎只有3个维度才会产生这种与距离平方成反比的依赖关系,但如果真是这样,额外维度理论家为什么也认可牛顿的引力平方反比定律呢?
了解紧化维度如何解决这一潜在矛盾,是很有趣的。其基本逻辑是:引力线不能任意深入紧致维度,因为紧致维度的大小是有限的。尽管引力线最初是向所有维度发散的,但当其发散超出额外维度的大小时,它们就别无选择,只能沿着那些无限维度的方向延伸。
这仍可以用胶管的例子来说明。假设胶管的一端有一个盖子,水是通过盖子上的一个小孔进入水管的(如图2-9所示),穿过小孔的水并非当即沿水管直流而下,而是先要充满管子的整个横截面。但是很显然,如果你正拿着管子的另一端在花园里浇水,水是如何进入水管的根本就无所谓。虽然水刚进入水管时会向不止一个方向喷射,但很快就会撞到水管内壁,然后再流出,这时就像只有一个方向。从根本上讲,在微小紧致维度上的引力场线就是这样的。
穿过一个小孔进入水管的水首先向3个维度发散,然后会沿着水管长度的一维流动。
如前所述,我们仍可想象一定数量的引力线由一个庞大的球体向外发出,在小于额外维度大小的距离内,引力线会均等地向所有方向发散,如果你能测量那个小尺度上的引力,那么就能测得高维引力的结果。引力线的发散方式正如水穿过小孔进入胶管一样,会首先充满整个胶管内腔。
但是,在大于额外维度大小的距离上,引力线只能向着无限维度的方向延伸(如图2-10所示);在微小紧缩的维度里,引力线会触到空间边缘,之后便不能再继续延伸,它们只能弯曲,而剩下的唯一出路就只有沿着那条长维的方向伸展。因此,在大于额外维度大小的距离上,额外维度就仿佛根本不存在,而引力定律也就会转而符合牛顿的平方反比定律——就是我们现在看到的样子。这就意味着,如果你只测量距离大于额外维度大小的两物体之间的引力,那么,即使是从数量的观点来看,你也无法得知额外维度的存在;只有在紧致空间的狭小区域内,与距离的依赖关系才能反映额外维度的存在。
在短距离内,引力线以辐射方式向外发散;但是,在远距离上,它们只沿着无限维度延伸。
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