有额外维度的牛顿引力定律
图文并茂地解释为什么当额外维度紧缩或卷曲至很小时会隐藏起来固然很好,可是还应该检验物理定律符合这一直觉。
牛顿于17世纪提出的万有引力定律告诉我们:引力的大小取决于两个有质量物体之间的距离。[6]这就是我们熟知的平方反比定律,就是说,引力强度会随着距离的增大而逐渐减弱,与距离的平方成反比。例如,如果你将两物体之间的距离增加两倍,引力强度就会削弱4倍;如果相隔距离是原来的3倍,则引力会削弱9倍。万有引力平方反比定律是最为古老、最为重要的物理定律之一,正因如此,行星才会有其自己特定的椭圆轨道。任何可行的物理理论都必须重现平方反比定律,否则必定失败。
万有引力定律对距离的依赖方式,体现在牛顿的平方反比定律中,它与空间维数有着密切的关联。这是因为,维度的数量决定了引力在空间发散时的发散速度。
我们来细想一下这种关联,这在我们以后探讨额外维度时至关重要。我们来设想一个供水系统,其中的水既可以直接流入一根胶管,也可流向一个洒水装置。假设流过胶管和洒水装置的水量相同,而且都能浇灌花园里一定量的花(如图2-6所示)。当水流过胶管时,胶管直接对准花,那株花就会得到所有的水,这与胶管根部到其对准花的龙头的距离是无关紧要的,因为所有的水最终都会浇到花上,无论胶管有多长。
由一个把水洒向四周的洒水装置浇到一株花上的水量要少于由胶管直接浇到花上的水量。
但是,假设等量的水流进一个洒水装置,则可以同时浇灌许多花。就是说,洒水装置将水向四周喷洒,洒遍一定距离之内的花。现在水被喷洒至这个距离内的所有植物,原来的那棵花就不能再得到所有的水了,而且,花离水源越远,洒水装置需浇灌的植物就越多,水就被喷洒得越广(如图2-7所示)。这是因为,在3米的圆圈里比在1米的圆圈里,可以种更多的花儿,水喷洒地越广泛,花儿离得越远,得到的水就越少。
当洒水装置将水洒向一个半径更大的圆圈时,水喷洒的空间更大,而花儿得到的水就更少。
同样道理,任何一个在不止一个方向上被平均分配的东西,对于任何特定物体,无论是一株花,还是我们会看到的一个经受引力的物体,离得越远,产生的影响就越小。引力与水一样,离得越远,分布得就越广。
从这个例子我们还可以看出,为什么维度的数量对水(或引力)的分布会产生如此强烈的影响:由一个两维洒水装置喷出的水,会随着距离的增大而喷洒得更广;而从单维胶管里流出来的水根本没有分散。现在,我们再设想一个洒水装置将水以球形喷洒(这个洒水装置就像是蒲公英长出种子的绒球),而不仅仅是向四周喷洒。这样,水随着距离的增大会分散得更快。
现在我们将这一推理应用到引力,并得出在三维空间中引力与距离的精确关系。牛顿万有引力定律的得出基于两个事实:引力在各个方向上的作用都是相同的;空间有三个维度。
现在我们设想一颗行星,它吸引其影响范围内的所有物质,因为引力在各个方向上作用相同,行星作用于另一物体(如一颗卫星)的引力强度就取决于两者之间的距离,而非方向。
为形象地表示引力的强度,图2-8中左侧的一幅显示了从一个行星核心延伸出的引力射线,就像是从洒水装置喷洒出的水。这些射线的密度决定了行星作用于邻近任何物质的引力强度,穿过一个物体的引力线越多,引力越大;引力线越少,则引力越小。
穿过一个球面的引力线的数量是相同的,无论其半径大小。因此,离这个物体的中心越远,引力线就越分散,而引力也就越弱。
注意,穿过作用球壳的引力线数量是相同的,而不论距离远近(如图2-8中间和右侧图所示),但因为引力线分布于球面的每个点,距离越远,引力必然就越弱。精确的分散因子取决于定量度量一定距离上的引力线分布有多广。
穿过一个球面的引力线数量是一定的,无论它离其核心物质有多远。球体的表面积与其半径的平方成正比:表面积等于一个数乘以其半径的平方。分散于球面的引力线数量一定,因此引力必然随着半径的平方减弱,这种引力场的分散就是万有引力平方反比的来源。
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