对偶性详解
本节我将详细讲述上面提到的在十维超弦理论与十一维超引力论之间的对偶性。以后我不会再用到这一解释,因此你尽可以跳到下一章。但是,因为本书是关于维度的,谈一点有着不同维度的两个理论之间的对偶并未完全脱离主题。
有一个特点使得对偶性的存在更为合理:两个理论里总有一个包含强相互作用的物体。
如果相互作用强烈,你很难直接推导出理论的物理含义。尽管一个看上去十维的理论要由一个完全不同的十一维理论给出最佳描述非常奇怪,但是,想想你的十维理论里包含的物体有那么强烈的相互作用,以至你根本无法预言会发生些什么,这似乎就没那么奇怪了。毕竟,我们已输掉了所有的赌注。
但是,关于不同维数理论之间的对偶性仍有很多令人费解的特征。在十维超弦和十一维超引力论之间对偶的这一特殊情形,乍看起来似乎存在着一个极为根本的问题:十维超弦理论包括了弦,而十一维超引力论里则没有。
物理学家用膜来解决这一问题,即使十一维超引力论不包括弦,但它包括二维的膜。但不同的是,弦只有一个空间维度,而2-膜有两个维度(正如你猜想的一样)。现在,假设十一维中的一个维度卷曲成一个极小的圆,这样,包含一个卷曲的圆形维度的二维膜看上去就像一根弦,如图15-1所示,卷曲的膜看起来只剩下一个空间维度。这意味着,有了卷曲的维度,即使原来的十一维超引力论并不包含弦,它看上去也就包括了弦。
有着两个空间维度的膜,其中一维卷成一个很小的圆,它看上去就如一根弦。
这听上去有点自欺欺人,因为我们已经说过,一个有着卷曲维度的理论在远距离和低能量上看起来维度总是会更少,因此,当你发现一个有着卷曲维度的十一维理论表现得就如十维理论一样时,你就不会感到惊讶。如果你想证明这些十维与十一维的理论都是等价的,为什么仅仅研究其中一维卷曲的十一维理论就够了呢?
答案的关键在于,我们在第2章只说明了卷曲维度在远距离和低能量上是看不见的,而威滕在1995年的会议上作了更深入的阐释。他证明:即便在近距离上,一个维度卷曲的十一维超引力论与十维超弦理论也是完全等价的。当一个维度卷曲时,如果你靠近了看,仍然可以区分沿着这个维度的不同位置的点。威滕证明,关于对偶性理论的所有事物都是等价的,甚至包括那些有足够能量去探索的小于卷曲维度距离的粒子。
在有着卷曲维度的十一维超引力论里的所有东西——甚至是微小尺度和高能量的过程和物体,在十维超弦理论里都能找到其对应物。而且,对偶性对卷曲成任意大小的圆圈的维度都成立。以前我们看卷曲维度时,只是说小卷曲维度不会被注意。
但是,不同维数的理论怎么可能会是同样的呢?毕竟,空间的维数是我们确定一个点所需要的坐标的数量。只有当超弦理论总是用额外数字来描述点状物体时,对偶性才可能成立。
对偶性的关键就在于,在超弦理论有一种特别的新粒子,只有明确了它在九维空间里的动量及其电荷值,你才能将它确定。而在十一维超引力论里,你需要知道在10个空间维度里的动量。注意,即便在一种情形下你有
9个维度,而在另一种情形里是10个,在这两种情形里,你都需要明确10个数字:一种情况下是9个动量值和1个电荷值;另一种情况下是10个动量值。
常见的不带电荷的弦与十一维理论里的物体不匹配。因为在十一维理论的时空里,定位一个物体需要11个数字,因此只有带电荷的粒子才有其十一维的配偶。而十一维理论里粒子的伙伴变成了膜——即带电的点状膜,叫做Do-膜。弦理论和十一维超引力论是对偶的,因为对应在十维超弦理论里的每一个既定电荷的Do-膜[4],都有一个相应的特定十一维动量的粒子,反之亦然。十维和十一维理论里的物质(以及它们的相互作用)恰好对等。
尽管在某一特定方向上,电荷与动量似乎大不相同,但如果在十一维理论里,每个特定动量的物体,都能够与十维理论里的某个特定电荷的物体相匹配(反之亦然),这一数字究竟是称作动量还是电荷,那就由你来做主了。维数是独立的动量方向的数量——即一个物体可以在其中穿行的不同方向的数量。但是,如果沿着一个维度的动量可以由一个电荷所取代,那么维度的数量就没有被明确界定。最佳的选择要由弦耦合的值来确定。
这一令人震惊的对偶性是证明膜有建设性意义的最早分析。不同的弦理论要互相匹配,膜是必须的附加成分。但弦理论里的膜之所以在物理理论的应用中非常重要,是因为一个关键特征:它们能束缚粒子和力。下一章我们就解释其中的原因。
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