数学,到处都是数学!
生命、宇宙和万物的终极问题的答案究竟是什么?道格拉斯·亚当斯在科幻小说《银河系漫游指南》中曾这样追问,他给出的答案是42;最困难的部分原来是找到真正的问题。实际上,我们那些问个不休的祖先们无疑也问过同样宏大的问题,但随着他们知识的增长,他们对“万物理论”的追寻在逐渐演化。当古希腊人不再寄希望于神话传说,而是精心建立起太阳系的机械模型时,从那时起,他们追问的重点就从“为什么”转向了“如何做”。
从那时起,我们提出的问题在某些领域变少了,但在另一些领域却如雨后春笋般不断涌现,图9-1清楚地描绘了这一点。一些问题被放弃是因为太过天真或误入歧途,比如,文艺复兴时期流行从第一原理来解释行星轨道的尺度。同样的事情可能也会发生在目前十分流行的理论上。比如,宇宙中暗能量总量的预测值——如果我们最终发现,周边区域的暗能量数量只是历史偶然事件的话,那些预测值就必须推倒重来(我们在第5章探讨过这个话题)。我们回答这些问题的能力也早已超过了祖辈们最大胆的预期:牛顿如果知道我们能以1%的误差测算出宇宙的年龄,还能领悟微观世界的秘密从而制造出iPhone,那他一定大为惊讶。
我发现,道格拉斯·亚当斯对数字“42”的戏谑其实十分恰当。因为,在人类取得的种种成就中,数学扮演了不可或缺的角色[47]。宇宙从某种意义上说是数学的,这种观念可以追溯到古希腊的毕达哥拉斯,并在物理学家和哲学家的争论中延续了千百年。17世纪时,伽利略说过一句著名的话,将我们的宇宙比喻成一本用数学语言撰写而成的伟大之书。而在近代,20世纪60年代期间,诺贝尔物理学奖得主尤金·维格纳认为“自然科学中的数学具有难以解释的有效性”,是一个亟待解决的问题。
形状、模式与公式
接下来,我们即将探索一个真正的终极解释。不过首先,我们需要澄清一下我们要解释的对象究竟是什么。
请放下这本书,看看四周。我们要谈论的数学公式到底在哪里呢?数学难道不就是数字吗?你也许会在某些地方看见一两个数字,比如这本书的页码,但是,数字其实只是人类发明出来可供印刷和书写的符号,所以它们很难深邃地反映宇宙的数学性。
由于教育系统的灌输,许多人把数学等同于算术。然而,数学早已演化得大不一样了,它可以用来探讨诸如物理学这样更加精深的问题。比如,伽利略曾说,几何图形(如圆形和三角形)是数学化的,那么当你环顾四周时,你有没有看到一些几何形状或者模式呢?不过需要强调的是,人类设计的东西不算,比如长方形的书籍。但是,请观察一颗小石子被扔出后的轨迹,大自然为它勾勒出了一条多么美丽的线条!伽利略发现了一件了不起的事(见图9-2):不管你扔出什么东西,它们的轨迹都是一样的,这条轨迹被称为“下开口的抛物线”。此外,抛物线的形状可以用一个非常简单的数学公式来描述:y=x2,其中x代表水平位置,y代表垂直位置(也就是高度)。根据初始速度和方向不同,抛物线可以在水平或垂直方向上任意拉伸,但它永远是抛物线。
当我们观察太空中物体的运动轨迹时,我们发现了另一个重复出现的形状——椭圆形(见图9-3)。方程x
2+y2=1描述了一个正圆形上的点,简单来说,椭圆形就是被拉伸的正圆形。根据初始速度、方向和它所围绕的物体质量的不同,轨道的形状也会发生变化,或被拉伸,或被倾斜,但它永远是椭圆形。此外,椭圆形和抛物线这两种形状还有联系:每个被拉伸的椭圆形的一端与某个抛物线都几乎完全相同,所以实际上,所有的运动轨迹都是椭圆形的一部分[48]。
简单来说,椭圆形就是将圆形在某一个方向上进行拉伸(这里不考虑摩擦力,也忽略了爱因斯坦对牛顿引力理论的修正,因为该效应极其微小,除非靠近一个黑洞)。物体可能千差万别,但它们的轨迹都是椭圆形。比
如,一颗彗星绕着太阳旋转(左图),一颗白矮星的残骸围绕着夜空中最亮的天狼星A旋转(中图),一颗恒星绕着银河系中心的超级黑洞旋转(右图),这颗黑洞的质量比我们的太阳大400万倍。(图片来源:右图由莱因哈德·甘泽尔[Reinhard Genzel]和莱纳·薛德尔[Rainer Sch del]提供)
在历史的长河中,人类又渐渐在自然界中发现了更多重复出现的形状和模式,不仅涉及运动和引力,还涉及许多不同的领域,比如电、磁、光、热、化学、放射性和亚原子等。我们对这些模式的总结被称为“物理定律”。就像椭圆形的轨迹一样,所有定律都可以用数学公式来描述(见图9-4)。这是为什么呢?
数字,物理实在的基本性质
公式并不是大自然由数学构成的唯一线索——还有数字。与人类造物中的数字(比如本书的总页数)不同,我所谈论的数字是指物理实在的某些基本性质。比如,拿出几支铅笔,把它们两两垂直(也就是相互成90°)地摆在一起,总共能摆出几支铅笔?答案是3支。比如,你可以把它们摆放在你房间的一个角上。那么,3这个数字从何而来呢?我们把这个数字叫作我们空间的维度。
可是,为什么维度是3,而不是2或者42呢?为什么在我们的宇宙中总共有6种夸克(至少目前来看)?我们在第6章看到,还有一些额外的整数,构筑入了大自然的本质,描述了基本粒子的种类。
这还不够。在大自然的内核中,还有许多非整数,需要小数点才能写出来。我最近数了一下,大自然内部总共编码了32种基本数字。你站在体重秤上显示的数字算吗?不算。因为它测量的是一个每天都在变化的东西(你的质量),所以它不能代表宇宙的基本性质。那么,质子的质量(1.672 622×10⁻²⁷kg)算吗?电子的质量(9.109 382×10-31kg)呢?这两个数字看起来完全不随时间变化。但是,它们也不算,因为它们是用千克数来测量的,而千克只是人类随意杜撰出来的一个质量单位。但是,如果你用这两个数中的其中一个去除另一个,你就会得到一个真正基本的数字——质子质量是电子质量的1 836.152 67倍[49]。1 836.152 67是一个纯数,就像π和一样,因为它们都不涉及人类创造的各种量纲(如千克、米、秒或伏特)。为什么它会如此接近1 836?为什么不是2 013或者42?我们并不知道个中缘由。但我们认为,我们从理论上可以计算出这个数字,也可以从表9-1中列出的32个数字中,计算出大自然的其他基本常数。
注:人类曾测量过的大自然的每个基本性质都能从表中的32个数中计算出来——至少理论上可以。其中一些数的测量值已经非常精确,还有一些尚未在实验中得到。这些数字的具体含义与我们的讨论无关。可是,到底是什么决定了这些数字呢?
表9-1中的数字都有着吓人的名字,不用担心,这与我们要讨论的事情没有关系。我想强调的一点是,从中可以看出,我们的宇宙有着某些非常数学化的性质。我们看得越仔细,就越能发现更多的数学。关于自然界的常数,综观物理学的每个领域,可以得到成百上千个纯数,从基本粒子质量的比值,到不同分子发出的光波长的比值等。运用强大的计算机来求解那些描述自然规律的方程,我们会发现,似乎每一个数都可以从表9-1的32个数字中计算出来。有一些计算和测量太过复杂,目前还没有人能完成。也许到它们完成之时,一些小数并不能在理论与实践之间完美地吻合。这样的矛盾在过去发生过无数次,解决的途径一般有三种:
●有人发现实验出错了。
●有人发现计算出错了。
●有人发现物理定律出错了。
在第三种情况下,人们通常会摒弃之前的定律,从而发现一个更加基本的物理定律,就像爱因斯坦的理论取代了牛顿的引力方程,并解释了水星绕太阳运动的轨迹并不是完美的椭圆形一样。不管是哪种情况,都进一步加深了“自然界一定有什么东西是数学化的”这一印象。
现在,表9-1中总共有32个参数。在未来,如果你发现了一个更加精确的物理定律,那么,表9-1中的参数数量可能会减少,也可能会增加。如果根据你的物理定律,其中某些数字可以由其他数字计算出来,那参数数量就可能减少。但如果日内瓦的大型强子对撞机发现了某些新粒子,那它的质量也可能为表9-1增添一些新成员。
更多线索:上帝是数学家吗
那么,通过物理世界的数学线索,我们了解了什么呢?大多数物理学家都认为,这意味着,出于某种原因,大自然可以由数学来描述(至少近似的),仅此而已。天体物理学家马里奥·利维奥(Mario Livio)在他的著作《上帝是数学家吗?》(Is God a Mathematician?)k中总结道:“科学家们选择了那些可用数学方法检验的问题来进行研究。”但是,我相信一切不止于此。
首先,为什么数学可以如此完美地描述大自然?我赞同维格纳,认为这需要一个解释。其次,纵观本书,我们已经遇到了许多线索,暗示着大自然不仅能用数学来描述,它本身的某些方面就是数学。
●在第1章,我们看到了物理世界的基本结构——空间自身。从内禀性质的意义上说,空间是一个纯粹的数学对象,因为它唯一的内禀性质就是数学性质——数字,比如维度、曲率和拓扑性。
●在第6章,我们看到了物理世界的所有“物体”都是由基本粒子构成的。从内禀性质的意义上说,基本粒子也是纯粹的数学对象,因为它们唯一的内禀性质都是数学性质,即表6-2所列出的那些数字,比如电荷、自旋和轻子数。
●在第7章中,我们看到了某种尚有争议的,比三维空间及其内部的基本粒子更加基本的东西——波函数及其栖身的无限维度的希尔伯特空间。粒子可以被创生,也可以被消亡,还可以同时处在几个不同的位置。但是,不管过去、现在还是将来,波函数都只有一个,它在希尔伯特空间中循着薛定谔方程决定的路径运动着,而波函数和希尔伯特空间都是纯粹的数学对象。
这一切都意味着什么?现在,请听听我的想法。我的理论是否比那位警告我前途将毁的教授更有说服力呢?
留给你自己来判断。
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