5 爱因斯坦引力论
在万有引力的作用下,所有的事物都以同样的加速度坠落。这句话众所周知,乍听上去也没什么大不了。其实不然。你大概还记得一个物体落到地面的加速度吧。用方程表达,这就是a=GM/r2。这里的G就是亨利·卡文迪许在18世纪后期精妙确定的引力常量。r是物体到地球中心点的距离,M是地球的质量。方程中没有提到坠落物体的质量,因此我们用段首语作为这一章的开篇语。大的、重的物体,比如月球,对地球的加速度和轻的物体(比如一粒尘埃)是一样的。这是伽利略的著名论断,据说(可能是杜撰的)他是在比萨斜塔上扔下两个质量不等的球体才得出这一结论的。牛顿通过这个结果论证,万有引力一定和他的第二运动定律中F=ma的质量成正比,也就是说,如果对一个物体施加力,它就会以与质量成反比的加速度运动。F=ma中的m就是惯性质量,因为它描述了推动力的大小。因为牛顿的万有引力定律中的引力质量和牛顿第二运动定律中的惯性质量是完全等同的,所以重力加速度是独立于坠落物体的质量的。我们很快就会看到,引力质量和惯性质量等同,这一点具有深刻的含义。
对于这两个概念不同的质量为什么是相等的,牛顿的回答是:“它们是相等的,因为它们本来如此。”在之后的两个多世纪,没有人能够提出更好的说法。直到一位名叫阿尔伯特·爱因斯坦的年轻人说:“当一个观察者从屋顶上自由下落时,至少在他周围的环境中不存在引力场。”爱因斯坦认为,自由落体的物体没有受力,也就是说它没有加速度,这也是为什么它们接下来的路径是独立于它们质量之外的。回到1920年,爱因斯坦说,这是“这辈子最让他高兴的想法”。要知道他为什么这么说——爱因斯坦不是一个夸大其词的人——大家需要理解本章的后续内容。这个让他高兴的想法的后续事件,出乎意料地震惊了包括他在内的所有人,那就是,引用乔治·勒梅特的诗句,关于“一个没有昨天的一天”的预言。换句话说,爱因斯坦的引力论预言了大爆炸。
我们再来仔细想想自由落体。想象从屋顶上跳下去,按照爱因斯坦的理论,就像有人把重力给关掉了。这听上去很奇怪,朝地面狠狠栽下去,敢说没受重力影响的人一定是吃了豹子胆了。
在21世纪,我们不需要想象这个画面,因为我们已经很熟悉那些宇航员登陆国际空间站(ISS)的画面。从一个地面上观察者的视角来看,宇航员是和空间站以及站里所有的物体一样,受到地球引力的影响,坠向地球的。可是宇航员是飘浮着的。因为他们离地球很远,所以把他们想象为在零重力的环境下飘浮是不对的,因为他们离地球并不远。国际空间站的高度只有400千米,地球半径是6370千米。因此,和一个人从地球上的屋顶掉下去所受到的重力相比,空间站受到的引力只减少了10%。空间站没有掉到地面上,是因为它同时在以每秒7.66千米的速度切向运行,因此持续错过地面。这和月球运行是同样的道理。月球也是一直受地球牵引,同时一直错过地球,这一点牛顿很清楚。这也是轨道运转的意义。我们从宇航员的画面中看到,那里至少看上去是不存在引力的。如果宇航员放开一个杯子,或者锤子,甚至是一滴水珠,它们都会停止不动。对于宇航员和空间站来说,一滴水珠是不动的,也不会以更快或者更慢的速度掉向地球,尽管它本身的质量非常小。它就飘在那儿。这就是我们所说的“零重力”。但是,用牛顿的观点说,这里存在的重力不少。
爱因斯坦和牛顿是从完全不同的角度分析这种现象的。牛顿把惯性质量等同于引力质量,这也是他解释为什么在国际空间站上任何事物都是相对静止的原因。爱因斯坦则认为,任何事物都是相对静止的,因为没有任何作用力施加在任何物体上。
也许现在你能看出来爱因斯坦想要说明什么。从某种程度上说,登陆国际空间站的宇航员无法判断,自己是在向地球坠落,还是飘浮在远离重力影响的宇宙空间中。如果不让他们看外面,那么他们就无法做任何实验或者观察,来证明以上两种可能性中的任何一种。不管是哪种情况,爱因斯坦都认为是没有区别的。作为自由落体的人感受不到重力,因为没有重力,“对于任何一个做自由落体运动的观察者来说,至少在他周围的环境中是没有引力场的”。如果我们从一个做自由落体运动的观察者的角度来看世界,这个世界是不存在引力的。
当然,我们需要更多的说明:毕竟,万有引力是存在的。如果你从屋顶上跳下来,你肯定会掉到地面上。爱因斯坦对此有他的说法。是的,当你从屋顶跳下,你和地面之间的距离降为零,但那是因为地面是在加速运动迎向你。也许你又觉得听得不顺耳了,但你必须承认的是,你在撞向地面的瞬间确实有这样的感觉。当你坐着看这本书的时候,你是被压在你的椅子上;当你坐在飞机上,飞机在跑道上加速前进的时候,你的后背紧紧地贴向座椅靠背,也是这样的感觉。根据爱因斯坦的理论,这些都是一样的。和牛顿的说法不同,你的重量和万有引力没有任何关系。这只不过是你的感觉。因为地面对你施加的力,你正在加速向上,迎向那个从屋顶上掉下来的家伙,此人正在半空飘浮,还以为自己正在加速下落。
你可能会说,当然不是这样。试想两个人分别在地球上两个不同地点做自由落体运动,一个在英格兰,一个在澳大利亚。根据爱因斯坦的理论,他们应该都是自由飘浮在空中,等着地面迎向他们。你会说,地面不可能同时迎向他们两人,因为那就意味着地球在变大。这个逻辑是错误的。
试想两个小球,被隔开一段距离,向地面做自由落体运动。用牛顿的观点看,每个球都向地球中心做加速度运动。因为受到地心引力的作用,小球的中心点和地球的中心点连成一条直线。这意味着,两个小球在落下的过程中,越来越靠近,因为它们都是沿着各自的直线降落,最终在地心会合。如果两个球相距只有一米,坠落的距离也只有几米,那效果微乎其微。但假设两个球相隔几千米,从同样的海拔高度扔下它们,那它们在降落的过程中明显地靠近对方,如图5.1。最极端的例子就是,一个球在英格兰,一个球在澳大利亚,那它们就会冲向对方。爱因斯坦的理论必须解释这个现象,当然可以。那为什么两个球在没有作用力的情况下能彼此靠近呢?这个解释是理解广义相对论的关键。
我们之前已经提到牛顿第二定律,F=ma(对物体的作用力等于该物体的质量乘以其加速度),但是没有提到他的第一定律。牛顿第一定律说的是,所有物体在没有外力的作用下,都保持静止或者匀速直线运动状态。我们已经说过,那两个小球没有受到作用力,因为我们排除了引力,但是它们在落向地面的过程中也在相互靠近,这看上去是矛盾的,我们在这里的用词很小心。下面举一个“不受外力影响的靠近”的例子。假设两个探险者站在赤道上,间隔一小段距离。然后他们都开始以匀速直线运动向北极前进。这里没有外力的作用,所以他们会按照牛顿第一定律一直匀速前进,但是他们在靠近对方并最终会在北极相遇。他们越走越近,是因为地球上的直线是经度,它们以合适的角度横跨赤道,但是在地球两极会合。没有外力施加在探险者身上,他们在向北行进的过程中走近对方,是因为他们在地球的弧形表面上沿直线前进。他们前进的空间的几何形状不是平的,因此他们在行进的时候会靠近对方。
这就是为什么站在地球表面的人会认为,两个分别从英格兰和澳大利亚两地自由降落的球会彼此靠近。它们就像那两个探险者一样,在去北极的路上彼此靠拢。无论是球,还是探险者,都可以名正言顺地说,是对方向自己加速前进,而自己没有感受到加速度。现在我们就能理解,无论是在英格兰的自由落体实验者还是在澳大利亚的自由落体实验者,都说地面在向自己做加速度运动,而地球也没有同时在变大,这是可能的。因为加速度不是普遍存在的。确切地说,我们再回到两位探险者的例子。假设他们分别沿着走向冰岛两侧的路线前进。对于两位探险者来说,他们自身没有加速度,因为他们在沿直线前进,但在他们走向北极的过程中,冰岛离他们越来越近。他们可以说,冰岛是在向他们做加速度运动,因为冰岛相对于他们是在做变速变向运动。从探险者的角度看,冰岛在做加速运动,当然,事实上冰岛的形状没有发生变化。
根据爱因斯坦的理论,牛顿的万有引力就像那两位探险者的“牵引力”一样是虚构的。我们受到误导,相信有一种引力的存在,导致物体坠落,但事实上,物体只是在弧形表面做直线运动。但是,在太空里,物体坠落在什么样的表面呢?这对于人脑来说就很难图像化,因为太空里的表面不像在地球上是二维的。在爱因斯坦的理论中,这个“表面”既是空间的,也是时间的。这个超二维的概念,从数学层面讲很简单,但是从直观看又很复杂,详情见框8(116页)。
我们先来总结一下,因为这是反直观的,就像因为地球是弯曲的,因此在地球上走向北极的人最终会相遇一样。两个自由落体的球穿越空间和时间向彼此靠拢,因为它是弯曲的。这个“它”就是由空间和时间组成的“表面”,又名时空。万有引力是虚构的力量,它是一种表象,证明时空是弯曲的。
“天才”这个词已经被人们用滥了。在人们的印象中,科学进步就是某些高智商怪胎经历的一系列顿悟的时刻。其实不然。科学是一项集体的努力。说到这里,如果说有什么成就能够被称为“天才”,那就是爱因斯坦的广义相对论的提出。爱因斯坦花费了很长的时间和精力研究万有引力的解释。他在1907年底就有了自由落体物体不受外力影响的想法。到1915年底,当他算出了一个关于引力的新理论时,他才发表了这些想法,称之为广义相对论。
爱因斯坦广义相对论的精妙之处,在于它的核心思想的简单性:物体在弯曲的时空表面做直线运动。时空的弯曲造成了我们以前称为“作用力”的影响。因为这个,地球和月球以轨道相吸,但是在时空中又都各自沿着直线运行。这个观点如此绝妙而优美,令很多现代理论物理学家都希望将广义相对论作为模板,把自然之力全部换成几何学。
框8 高维空间
我们说时空是个“表面”,用的是这个词的数学意义,为的是和二维的地球表面做比较。但时空是四维的。它包括空间的三维和时间的一维。看到这里大家不要惊慌。你是想象不出来的。没有人能够想象出来。大自然包含的不只是人类能够想象出来的东西:它要丰富得多。幸运的是,人类发现了数学,能帮助他们推算无法想象的事物在数学中,如果存在二维表面,那也可以存在3、4、5甚至n维表面。需要做的就是添加数字,具体说明表面上各点的坐标;我们还要具体说明计算表面距离的方法。大家可以想象一个球的表面,但是在一个想象的平面世界中,没有“上”和“下”,住在里面的人就费劲了。不过他们还是可以用球体表面的数学计算,并可以把球看成是神秘的二维表面,归纳成一维的圆圈的概念(他们能把球想象成一个圆圈)。图5.2是一个四维的立体方块图——也不完全是。它是四维立方体块在三维空间的投影,是在二维空间的成像(即在纸上)。如图所示,我们能够通过观察高维空间物体在低维空间的投影,来大概了解高维空间物体的样子,就像你的影子是一个平面世界里的人能够看到的你的样子一样。
说明物体是怎样在弯曲时空里运行的,这只是广义相对论的一小部分。另一个非常重要的部分,说的是时空为什么是弯曲的。当然,对于在地球附近的物体来说,地球是时空弯曲的原因。更准确地说,也更广泛地说,物质和能量的存在造成了时空的弯曲。这应该很明显,因为我们总是自然而然地把引力和星体联系起来,越大的物体产生的引力就越大(想想宇航员在月球上漫步的情形)。广义相对论里有一个方程叫作“爱因斯坦场方程”,它提供了数学手段,在我们知道物质和能量分布方式的情况下,能测算出时空的形状。方程如下1:
爱因斯坦的方程也许看上去很有预示性,但是就像很多描述大自然如何运转的方程一样,这些方程是有故事的。右边的这个Tμv描述了物质和能量在时间和空间分布的具体情况。如果我们想用爱因斯坦方程描述太阳系,我们就要在这里放一个球形团块描述太阳质量。方程左边描述了由此产生的时空的几何形状,揭示了行星如何围绕太阳运行。另外,符号Λ表示宇宙常量,我们会在后面提到它。你们至少认识其中一个符号,那就是G,牛顿的引力常量,它代表引力的大小。爱因斯坦方程能算出在一定的物质能量分布下的时空弯曲程度。
我们能够用爱因斯坦方程计算地球表面附近时空的弯曲度。计算结果和牛顿预计的基本一致。说“基本”,因为还是有一些区别。比如,爱因斯坦方程预言,时间在山顶比在山脚下过得更快;要记住,因为地球的存在,时间和空间都发生了弯曲,而不仅仅是空间发生了弯曲。然而,这个作用非常微小,以至于在21世纪以前人们都懒得去探索。但是在今天,科技的发展对时间的精确性要求非常高,比如全球定位系统GPS的情况,这时就必须考虑这一作用。
当我们看向地球之外时,情况就变得更有戏剧性了。在爱因斯坦于1915年发表了他的理论后不久,他的两项和牛顿相左的预言就被拿来测试。一个是关于水星的运行轨道。牛顿的定律无法很好地解释这个问题,这一问题的存在也接近两个世纪了。测试的结果是,爱因斯坦的理论正确地解释了水星的运行。另一项是爱因斯坦对光在引力场受到的折射的预测,它与天真的牛顿派的预测相差两倍,这可能是物理学界最著名的两倍差。人们在1919年的日食过程中观测了经过太阳附近的星光,证实了爱因斯坦的预言。爱因斯坦从此声名大噪。今天,在天体物理学的多个领域中,在许多古怪程度超乎想象的方面,爱因斯坦的理论都得到了惊人准确的证实。
近年来,最令人叹为观止的一项成就是引力波——时空结构中的波纹——的发现。2015年9月14日,美国东部时间早晨5点51分,位于美国华盛顿州和路易斯安那州的LIGO双子探测器检测到了经过地球的引力波。这是由两个黑洞相撞引起的引力波,这两个黑洞存在的本身也是爱因斯坦理论的预言。这两个黑洞的质量分别是太阳的29倍和36倍,它们在不到0.2秒的时间内相互缠绕,其间它们相互接近的速度从光速的三分之一变成了三分之二。这个撞击导致了相当于可观测宇宙的五十倍的尖峰能量的产生,由此造成了时空变形,竟然在远隔13亿光年的地球上都能检测到。爱因斯坦的理论能够预测到如此精准的信号,你还有什么可说的呢?
这就是爱因斯坦的引力论和广义相对论。它取代了牛顿的万有引力定律,因为它对大自然的解释更加准确。但这不能否认牛顿定律在很多情况下的卓越表现,而且在数学层面上更容易计算得多。不过,事实摆在眼前,爱因斯坦的理论比牛顿的更准确。
框9 引力波
在LIGO探测器发现引力波之前,天文学家只能依靠电磁波观测宇宙,现在他们有了一种全新的方法。LIGO探测器在敏感度方面的功能极其强大,相当于当今的亨利·卡文迪许实验(见65—69页)。图5.4就是LIGO双子探测器。每个探测器都含有两个4千米长的高真空臂,并且每端都挂着很重的镜子。镜子就像垂枝一样挂在熔石英纤维上。长臂在图片中清晰可见。当引力波经过时,便推动/拉动镜子,导致镜子间的距离发生改变,科学家能够测出一条长臂相对于另一支长臂的长度变化(在摆放合适的角度下,当一条臂的长度减少时,另一支臂的长度会增加)。他们用的是一种叫作激光干涉测量的方法,就是向每条臂发射激光,光线在会合之前会在悬挂的镜子上来回多次反弹。组合输出光的强度对光穿过长臂一回合的时间变化很敏感,如果长度变化,输出的激光就会反映这一变化。
上图是华盛顿州汉福德的探测器,下图是路易斯安那州利文斯顿的探测器。这项工程由来自全球上千名工作者的努力合作完成。
左边的两幅图表是汉福德探测仪记录结果和对应理论的预测图,右边两幅图表是利文斯顿探测仪的记录结果和理论预测图。
图5.5显示了2015年9月引力波经过地球时探测器两条长臂长度的变化情况。这被称为应变效应,它是长臂长度变化的分数值。值得一提的是这个应变微乎其微。它意味着科学家们在测量长度变化时能精确到1021分之一以下。这个精确度就如同测量离我们最近的恒星比邻星的距离时能够精确到头发丝的厚度:简直是难以置信的精确。从绝对距离来说,它等于测量镜子间距离的变化精确到一个质子大小的千分之一。你完全有理由怀疑这个精确度,认为这是不可能的,光是镜子表面的不一致性都比这个要大得多。但这个测量的高明之处在于它绕过了这个问题,因为它测量的是平均距离。在某种意义上,每个进入装置的光子都在自主测量。而LIGO探测器的主要性能之一,就是它控制大量光子的能力。如果想要知道这种平均化有多大的效用,让我们假想有一列虚拟波,能让地球上所有人的身高增加1毫米的百分之一。如果你知道这个虚拟波什么时候会来,你能探测到吗?你当然不能信心满满地通过测量每个人在虚拟波前后的身高得出结果,因为你根本无法准确测量每个人的身高。但你可以测量每个人的身高变化(波前和波后),然后取平均数。因为平均数的不确定性随着人数的增加而减少[1],所以当人数足够多的时候,你就能判断出他们的平均身高在波后有稍许增加。这个例子和测量LIGO探测器双臂长度的细微变化是类似的。对这个实验准确性的主要限制是,人们使用的光子的数目有限,以及由于地震效应导致悬挂镜子会轻微震荡,而激光又是从镜子上反射的。路过的火车、海洋波浪、天气等都会给测量带来变数,但是这些都是可以通过细心和勤奋弥补到忽略不计的。这个科学的杰作完全是受到亨利·卡文迪许学派的影响。
图5.5不仅显示了当引力波经过时应变效应的瞬间变化,而且还显示,如果信号确实来自于一对相撞的黑洞,那它应该呈现什么样的理论预测。我们看到,预测和实际结果高度一致。波动的加速反映了黑洞在彼此缠绕时的加速。在最后的一段曲线中,波动慢慢消失,对应的是合并过程的结束,此时黑洞合二为一。
令人振奋的后续消息是,2016年6月15日,LIGO团队宣布,他们再次发现了一对黑洞撞击现象。该现象发生于2015年的节礼日,这次的两个黑洞比第一次的稍小(分别是太阳质量的8倍和14倍)。观察到的结果再次和爱因斯坦理论完美相符。这次的发现距离第一次发现的时间如此之短,这也让人鼓舞,因为这意味着,我们将来能够看到的会更多,我们终于掌握了一门技术,它让我们第一次能够观察这些事物和现象。
这无疑为天文学又翻开了一个新的篇章。
现在我们可以更大胆一些。我们看到,爱因斯坦的理论非常善于解释球形物体的时空曲度,比如行星、太阳,甚至黑洞。因此我们可以试问,它是不是也适用于更大的物质分布,比如说,整个宇宙?这个问题很大胆,当然,爱因斯坦也想到了。1917年,他发表了文章《广义相对论的宇宙学思考》,文中的观点相当大胆。“我对重力理论又犯下罪行,简直可能要被关在疯人院里。”他在给朋友保罗·埃伦费斯特的一封信中这样写道。让我们怀着敬意紧跟爱因斯坦的脚步。这绝对值得一做,因为后来证明这是一大胜利。爱因斯坦的理论预言了我们在上一篇中谈到的星系间的红移现象的存在。它也同时预言了大爆炸。
如果我们对宇宙中的物质和能量分布都了如指掌,就可以把这些信息都放在爱因斯坦方程中,算出时空的几何形状。然后可以试问这个几何形状有没有可观测的结果,并试图测试这个理论。我们下面要做的就是这些。
当然,我们无法知道宇宙中的所有物质都是如何分布的。有时候连找到一双袜子都够费劲的。但是我们没有停下脚步。下面是一个关于科学的好例子。我们要做一个简单的猜想。和以前一样,如果我们的猜想是错误的,当我们把猜想结果和在大自然中观察到的结果作比较时,我们就会知道了。
来自XSC目录的1500万个星系和PSC目录的5亿颗银河系恒星,图片中央即银河。星系根据各自的红移做了颜色区分。
图5.6是一个地球上可见的星系图,由加州理工学院的天文学家托马斯·加勒特提供的几个数据库制作而成。这幅图值得凝视,因为它卓越不凡,让人谦卑。宇宙间的星系如此之多,大多数情况下,只有星系团和超星系团才有标注。仅在地球之外5300万光年的处女座星系团就包含了1300多个星系。图5.7是一张来自智利欧洲南方天文台的处女座星系团的深度照片,那是暴风雪般的星系,来自亿万世界之外的微妙光团。
宇宙中充满了星系,看上去好像随意地散布其中。在最大的距离标度上,它们显示出均匀的分布,这就是我们猜想的线索。我们的猜想是,宇宙中的物质是均匀分布的。这个猜想从短距离来说当然不对:太阳系的组成就是疙疙瘩瘩的,质量都集中在太阳和几颗行星上。但我们假设的是在“足够大”的距离中,宇宙是均匀的。换句话说,如果我们把宇宙空间想象成几个足够大的盒子,其中一个盒子里包含的星系的数量与另一个盒子里的数量不会相差太大。
用术语来讲,这叫作均匀的、各向同性的物质分布:每一处都一样,每个方向都一样。这是哥白尼原理的最终宣告:我们在宇宙中的位置没有特别,别人也一样。
如果要计算整个时空的形状,我们就知道该怎么做了。把均匀的、各向同性的物质分布放在爱因斯坦场方程的右边,看看左边会出现什么。幸运的是,不需要任何数学计算,我们马上就能算出其中一些结果。
一个完全平整的宇宙物质分布就会生成一个完全平整的时空。其中的星系、恒星和行星会导致它们附近的时空产生变形。把它想象成一个高尔夫球,一个完美的球体,在其表面上布满了因变形产生的小凹洞。
那些小凹洞就是因为时空被附近聚集的质量拉扯变形产生的。太阳会制造一个凹洞。一个星系会制造一个大点的凹洞。我们现在考虑的,是宇宙的大规模结构,小凹洞先放在一边。我们感兴趣的是代表整个宇宙的平整的时空2。
黑点是由从图片中消除前景耀眼的恒星造成的。
现在我们来想想“一个完美的平滑时空”是什么样子。这只会有三个可能,那就是“平的”“球状的”和“双曲的”(想证明没有其他的可能性,你需要具备一些数学知识)。记住,时空是四维的,其中有三个空间维度。所以我们很难让它呈现视觉形式。好在,这三个可能性都存在两个空间维度,见图5.8的草图。我们已经假设,宇宙中没有特定的地点和方向。这就意味着,从爱因斯坦方程中提取的时空的形状是没有特定地点和方向的。我们很容易判断,在一个平面上不存在特定的点或者方向。同样,第二个可能性,在一个球体上面也没有特定的点和方向。第三个,也就是最后一个可能性,一个马鞍形的,就像一个内外反转的球体。它表面的弯曲度保持不变,但和球体不同的是,它形成了凹面,而不是凸面。以上三种可能性在四维时空中与这里相似。这个类比足够让我们敢于在图中的表面画一些星系。这就是在均匀性和各向同性假设条件下的三个宇宙的可能性,通过它们来设想宇宙在某个时间点出现弯曲,这个思路是对的。
我们用如此简单的理论推断就能作出时空几何形状的可能性判断,这很了不起。但是我们还能做得更多。图5.9呈现的是在三个不同时间点的假想的平面的宇宙(我们也可以选择其他两个可能性中的任意一个)。画面显示,我们的宇宙模板随着时间的推移不断延展,就像一个橡皮平面从边缘以等力向外拉伸。重要的一点是,如果空间持续保持平面、球形或者双曲形,则当时间推移时,空间唯一可见的变化就是收缩或者延展。此时此刻,我们无法判断所在的空间是延伸了、收缩了还是保持不变。要记住,爱因斯坦鼓励我们把空间想象成有延展性的:物质和能量的存在可以也正在使它变形。这就是行星轨道的起源和物体坠落砸向地面的原因。对应于其中包含的物质和能量,空间或者伸展或者弯曲,这种想法应该不显得怪异。
现在是看看广义相对论在这里如何应用的时候了。我们想知道宇宙到底是如何随着时间伸展或者收缩的。一旦知道了这个,我们就知道了空间如何在一个完全一致的宇宙中发展。我们可能关注的其他问题将与“处处一致”这个假设有关,这个问题将在第8章具体讨论。
假设宇宙中的两点在某个时刻相隔一定的距离。爱因斯坦方程告诉我们,这个距离是如何随着时间的变化而变化的。也就是说,它告诉我们宇宙是如何伸展或者收缩的。意料之中的是,具体的答案取决于我们所在空间的几何形状是三种可能性中的哪一种,以及构成宇宙的是何种物质。但有一个结论是无法规避的,那就是:在爱因斯坦的广义相对论中,距离会改变。这一点尤其重要,因为它意味着,这个充满和我们太阳系一样的星体和星系的宇宙是可以扩张或者收缩的。
如果你对这些一无所知,那么宇宙可以扩张这个概念你会觉得是天方夜谭,也会有人问,爱因斯坦方程是否也可能适用于一个静态的宇宙。爱因斯坦也问了这个问题。他于1917年提出,一个不扩张不收缩的宇宙(几乎)是可以想象的,但是要做到这一点,必须引入宇宙常量,我们之前在介绍他的场方程时曾经简单提到过。爱因斯坦把宇宙常量包括进来,就是因为没有明显的原因表明必须要排除它,即使在今天,人们对于它在更深层次代表着什么也没有很好的解释。有一种看待宇宙常量的方式,就是把它当成一种奇怪的物质。普通物质,也就是构成恒星、行星、星系和人类的物质,是由粒子构成的。如果我们把它们关在一个盒子里,它们会在盒子里横冲直撞,产生压力,试图增大盒子的体积。可以把爱因斯坦的这个奇怪的物质想象为在做完全相反的事情:它不是向外推盒子的四壁,而是往里吸。这个听上去可能有些勉强;事实上,后来爱因斯坦在介绍他的宇宙常量时说,这是他“犯的最大的错误”。历史学家们对爱因斯坦这句评论有不同的解释。有一种说法是,爱因斯坦之所以这么说,是因为他花了那么多时间,试图用广义相对论去解释一个静态的宇宙,但却忽略了一个事实,即他的方程一再暗示他去考虑宇宙是扩张的这个想法。这个他不常有的盲目性意味着,他错过了预言大爆炸的机会。
但是,爱因斯坦的两位同龄人,苏联的亚历山大·弗里德曼和比利时的乔治·勒梅特没有忽视这个信息。他们各自独立地正确演绎出,在应用到我们所在的宇宙中时,爱因斯坦的广义相对论预测,它将是扩张或者收缩的。
亚历山大·弗里德曼第一个研究了宇宙扩张3这个想法。他用爱因斯坦的方程写了一个新方程,就是现在所称的宇宙尺度因子。它是一个数字,告诉我们宇宙相对于它今天的大小扩张了或者收缩了多少——在一个扩张的宇宙中,尺度因子在过去时会小于1,在将来时会大于1。当今的宇宙学家们理所当然地把这个方程叫作弗里德曼方程。方程详解请见框10(138—139页)。1922年,弗里德曼对时空的球形形状进行了计算,1924年对双曲形进行了计算。他没有讨论平面这个可能性,也没有对其天文意义做任何评论。他更有兴致地指出,爱因斯坦的静态方案(对应的尺度因子不随着时间的变化而变化)不一定是正确的。勒梅特于1927年重新研究了弗里德曼的方程,不过他更加关注球形的可能性,也忽略了平面可能性方案。勒梅特1927年的方案描述了一个无限老的球形宇宙,它的尺度因子在不断增加。
尽管弗里德曼和勒梅特贡献卓越,但是他们在当时的科学界名不见经传,他们的作品在刚出版时被大大忽略——一是因为当时科学界对静态宇宙论的偏爱,因为这是尊敬的爱因斯坦的观点,但同时也有更多世俗的原因。勒梅特的论文发表在一份没有名气的法国期刊《布鲁塞尔社会科学杂志》上,读者甚少。而弗里德曼刚刚发表了他的论文,就于1925年死于伤寒。不过在1930年,著名英国物理学家亚瑟·爱丁顿开始宣传勒梅特的作品,因为他发现爱因斯坦的静态宇宙论不太可能:他假定的理想条件一旦有任何偏差,就会导致宇宙的扩张或收缩。1933年,尘埃终于落定。普林斯顿物理学家霍华德·培西·罗伯特森写了一篇精彩的文章,对弗里德曼方程的所有可能的数学方案进行了仔细归类,涵盖了平面、球形、双曲形和宇宙常量变化的众多情况,一共有18个。罗伯特森的结论是:运用爱因斯坦方程和纯粹的逻辑推理,一个包含物质的宇宙只可能有如下情况:
(i)有限的年龄,向未来无限扩张
(ii)有限的年龄,扩张一段时间后收缩(
(iv)无限的年龄,没有扩张或收缩
(v)无限的年龄,先收缩后扩张
在那些年龄有限的情况中,宇宙在过去一定有一个时间点是无限致密的,也就是说,两个粒子间的平均距离是零。当粒子间的距离变得太小的时候,方程无法成立。但是,宇宙在某个时间是极度致密的,这却是一个强大的预言。在宇宙历史中,那个特殊的时间就是现在所说的大爆炸发生的时刻。第三种情况是勒梅特于1927年发现的,第四种情况是爱因斯坦的静态宇宙论。第二种情况很有意思,因为宇宙会在未来某个时间点有一个“大崩塌”,第一种情况也很有意思,因为这就是我们现在生活中的宇宙。
框10 弗里德曼方程
弗里德曼方程无疑是宇宙学最重要的方程。其形式如下:
这个方程告诉我们,当宇宙尺度因子等于a的时候空间的扩张速度是多少。我们写下这个方程,让尺度因子在现在为1。如果宇宙是扩张的,那么a在过去小于1,在将来大于1。弗里德曼方程准确地告诉我们,a将如何随着时间的变化而变化。现在我们一点一点来看这个方程。等号的左边是H,它代表哈勃率:它告诉我们空间在某个时刻的扩张速度,且它等于尺度因子的分数变化率。我们将在第六章自己测量H值在现在时刻的大小,会算出它大约等于70km/s/Mpc。它的意思是,今天的空间正在以这样的速度扩张:两个相距1百万秒差距的物体以70千米每秒的速度远离对方。因为我们假设宇宙到处一样(平均来说),所以这便意味着,两个相距200万秒差距的物体正在以140千米每秒的速度远离对方,以此类推。如果我们知道H在过去和未来是如何变化的,我们就能知道尺度因子a在过去和未来是如何变化的。也就是说,我们将知道宇宙扩张史的一切:这是宇宙学的圣杯之一[2]。
现在来看等号右边。第一部分取决于牛顿的引力常量G,和代表宇宙平均质量密度的ρ。后者指的是整个宇宙平均每立方米空间的物质的量。第二部分涉及空间的几何形状。符号K是形状的标记:球形时它等于+1;双曲形时它等于-1;平面时它不存在,数值为0。c是光速,R是宇宙的弧度。这里就需要具体说明宇宙是球形还是双曲形,因为我们需要知道球体或者马鞍(在二维里,双曲看上去就像一个马鞍)有多大。
因此,这个方程告诉我们,宇宙以一个由它包含多少物质和它的形状决定的速度在扩张。这就是爱因斯坦方程的精髓。
如果你还想再研究一下弗里德曼方程,你就需要知道平均质量密度是如何依赖于尺度因子的,因为很明显,它就是依赖于尺度因子。如果你不想深究了,那就可以跳过下面这一段。在物质粒子的情况下,比如质子和暗物质,每个体积单位的粒子数量会随着空间的伸张而减少。这意味着密度等于今天的密度除以a3(测量密度就好比测量在一个方块儿里有多少物质,这个方块儿收缩或者伸展a倍,它的体积也相应收缩为原来的或增长a3倍)。对于光来说[3],情况有些微妙,因为它有能量,所以对ρ有影响,合适的质量密度是通过每体积单位的能量除以c2得出的。这就是爱因斯坦重力理论与牛顿重力理论的不同之处。爱因斯坦明白质量和能量对重力都有影响。你可能会认为,光今天对ρ的影响也应该除以a3,这样才能算出它在另一个时刻对ρ的影响。但事实上它应该除以a4。因为光在空间扩张的时候产生了红移(或者空间收缩的时候产生了蓝移),也就是说,它的能量密度的增长或降低是和尺度因子成反比的。对ρ产生影响的最后一个因素,是可能贮藏在空的空间中的能量,比如可能和宇宙常量有关。它的质量密度不随着宇宙的伸缩而变化,所以它对ρ是一个常量。现在你就可以用电脑来解出弗里德曼方程了(你需要做的积分用笔算太难了):如果你知道今天和光、物质以及宇宙常量相关的质量密度,那你就有了足够的信息,能够算出尺度因子a在所有时间的值。我们将在第七章中计算今天的质量密度。
- 均值的百分比误差依1/√N降低,这里N是测量的数目。
- 如果你有一些初等微积分知识,那这样表述更简单:,,然后我们通过对方程两边开方之后积分,可以得出作为时间t的函数的。
- 事实上,或者是任何以接近光速运动的物质。
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