欧氏几何:人类思维的奇迹
“公理化方法”最早是作为一种数学方法出现在欧几里得(Euclid)的《几何原本》中,实际上,这并不是欧几里得的本意。
说到欧几里得,大多数人的第一反应是他是一位数学家或者几何学家,其实这是我们对欧几里得最大的误解。实际上,欧几里得最重要的身份是哲学家,他之所以会开创“几何”这门学科,也是为了创造一种哲学思考的工具帮助自己更加深入地研究哲学。
作为一位哲学家,欧几里得最早提出了公理化思维,他在《几何原本》中运用形式逻辑的方式,建立了一套从公理、定义出发论证命题得到定理的几何学论证方法,从而形成了一个严密的逻辑体系——几何学。
说到这里,我们需要先解释一下公设和公理的区别,因为在近代之后的数学学科中,对于公设和公理不再明确区分,而是全部默认为公理。实际上,欧几里得在开创几何这门学科时,对作为基石假设的公设和公理是区分设置的。其中,公设有5条。
欧几里得几何学的5条公设[1]:
1.由任意一点到另外任意一点可以画直线。
2.一条有限直线可以继续延长。
3.以任意点为中心及任意的距离[2]可以画圆。
4.凡直角都彼此相等。
5.平面内一条直线和另外两条直线相交,若在某一侧的两个内角的和小于二直角的和,则这二直线经过无限延长后在这一侧相交。[3]同时,公理也有5条[4]:
1.等于同量的量彼此相等。
2.等量加等量,其和仍相等。
3.等量减等量,其差仍相等。
4.彼此能够重合的物体是全等的。
5.整体大于部分。
虽然我们现在将公设和公理归纳为同一类事物,事实上,欧几里得认为“公理本身是自明的,公设没有公理那样自明,但也是不加证明而承认其真实性的”。所以,他才提出“公理适合于一切科学,公设是几何所特有的”这种说法。
在欧几里得的几何系统中,公设和公理是无法通过既有的知识证明的,我们只能默认它们是不证自明的第一性原理。比如,欧氏几何的第一公设“由任意一点到另外任意一点可以画直线”,以及第一公理“等于同量的量彼此相等”,这些都是正确的“废话”。作为几何系统的元起点,现阶段我们几乎不可能从逻辑的角度去证明这些公设和公理的正确性,所以只能默认这些公设和公理是必然正确的。
此外,除了5个公设和5个公理,欧氏几何中还包括23个定义,诸如点、线、面的基础定义。5个公设、5个公理,再加上23个定义,欧几里得通过演绎法的推导,一共推出了48条定理和467个命题,而这些内容最终构成了平面几何系统,并且一直沿用至今。
从被欧几里得创造出来到今天,平面几何系统已经被应用了两千多年,在这个过程中,科学家和数学家一直想要完善这个系统。最终人们发现,在平面和三维空间中,这个系统貌似已经饱和,已经穷尽了平面几何这个维度的所有内容。
所以,迄今为止,我们使用的依然是当初的欧氏几何,而同时期,古希腊学者在科学上探索得出的结论,后来几乎都被证明是错误的。从这个角度讲,欧氏几何堪称人类思维的奇迹。
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