一切学问都是证明系统
德 国 的 思 想 家 、 哲 学 家 弗 里 德 里 希 · 恩 格 斯 ( Friedrich Engels)说过,“数学上的所谓公理,是数学需要用作自己出发点的少数思想上的规定”。换句话说,数学这门学科是在公理的基础上,通过逻辑推导而得到的,比如欧氏几何。
如果我们把欧几里得在5个公设、5个公理和23个定义的基础上推导得到平面几何系统的过程进一步拆解,就会发现,从基石假设推导出完整系统的过程中还存在一个重要的环节——逻辑的推导。
古希腊的哲学家认为,在理性系统中,只有推导出某种事物的逻辑为真,这个事物才是真实存在的。实际上,逻辑推导的过程就是用基石假设去证明某些命题准确性的过程。也就是说,所有学科实际上都是一个证明系统。关于这一点,我觉得王东岳老师有一句话总结得非常到位,他说:“,但凡没有证明的东西都是虚假的东西。”
正是因为,所以在一些理性学科中,我们会发现,人们对逻辑推导过程的重视甚至超过了对最终结果的重视。
比如,我们在中学阶段都见过一种几何问题,大致的意思是:给定一条线段AB,然后要求在线段AB上画出一个等边三角形。这个问题并不难解决,只要给我们一个圆规就可以。首先,以AB为半径,以A为中心,画一个圆;然后以B为中心,以BA为半径,再画一个圆。两个圆相交两点,取其中一点(C点),连接A、B、C 3个点就画出了一个等边三角形(见图2-1)。
虽然大多数人都了解这个操作方法,也可以用其他方法画出这个等边三角形,但是,当这种类型的试题出现在试卷上时,答题的要求不会只让我们画出这个等边三角形,同时还会要求写出推导过程。
我们常说“微言大义”这个词,意思是说用一句简练的话表达深刻的道理。但是在哲学语境中,我们强调的是假设与证明,即便是一句极度简练的话,我们也必须经过逻辑推理证明其有效性,否则就不是微言大义,而是虚假命题。
再回到我们之前讲的一句话,亚里士多德以一己之力建立了逻辑学,他认为逻辑的第一根本特征叫作“必然的导出”。从命题1到命题2中间推导的过程,叫作“逻辑”。而一个理性系统,同样是从第一性原理通过逻辑推导的方式找到其他有效命题,从而构架出整个完整的系统。所以,系统中的证明都是逻辑证明。关于前面这个几何问题,推导过程应该是这样的:
2.以B为中心,以BA为距离画圆ACE。(公设3)
3.由两个圆的交点C到A、B连接CA、CB。(公设1)
4.因为,点A是圆CBD的圆心,AC等于AB。(定义15)[5]
5.点B是圆CAE的圆心,BC等于BA。(定义15)
6.因为AC等于AB,BA等于BC,所以AC也等于BC。(公理1)
7.3条线段AC、AB、BC彼此相等。所以△ABC是等边三角形,即在已知有限线段AB上画出了这个三角形。
对于这种问题,很多学生并不理解其中的深意。通常,我们认为知识是要为实践服务的,只要找到问题的答案即可,推导或者执行方法的过程并不重要。我记得我的女儿在美国念初中的时候,回家之后就会抱怨数学老师过分地追求逻辑的完整性,明明非常简单就可以找到问题的答案,却要求她写出复杂的推导过程,缺少了任何步骤都会扣分。
其实老师的做法是完全正确的,逻辑上正确才是我们应用知识的重点环节。面对一些简单题目时,我们可以用小聪明,从第一步直接跨越到最终的结果;但遇到特别复杂的命题时,小聪明就变得毫无意义,只有一步步地推导和证明,才能以正确的过程引导出正确的结果。只有这样,我们才能打破思维模式的禁锢,用逻辑找到超出我们认知极限问题的答案。在推导的过程中,想要保证每一个步骤的正确性,我们必须找到相应的公理予以支撑。
实际上,欧氏几何是一种纯逻辑的知识,在现实生活中,我们根本不可能找到欧氏几何立足的根基。比如说,欧几里得定义的点是没有长度和宽度的;线是只有长度、没有宽度的;而面是有长度、宽度,但没有厚度的,这些情况在现实当中根本不具备存在的可能性。
换句话说,从本质上讲,欧氏几何是一种逻辑实体。所以解几何数学题并不重要,解题的每一个步骤,必须有公理作为支撑的思维方式才是最重要的。
欧几里得列出的这些最基础的公理,并非他的原创。欧几里得对人类科学发展的贡献不仅在于建立几何学,更重要的是他首创了一种演绎法思维方式:从为数不多的公理出发,推导出所有定理和命题,从而构建了整个平面几何体系。这种基于演绎法的公理化思维方式,才是欧几里得留给后世的巨大财富,是人类思维的神迹。
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